Giải thích chi tiết về Phương sai S² – Khái niệm, cách tính, ví dụ và bài tập cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu khái niệm Phương sai S² và tầm quan trọng trong Toán học lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, "phương sai" (ký hiệu$S^2$) là khái niệm cơ bản và cực kỳ quan trọng thuộc phần Thống kê. Phương sai giúp chúng ta hiểu được mức độ phân tán của một mẫu số liệu – tức là các giá trị trong mẫu chênh lệch như thế nào so với giá trị trung bình. Việc hiểu đúng và biết cách tính phương sai không chỉ giúp học tốt Toán mà còn là nền tảng để học các môn khoa học khác như Vật lý, Kinh tế, Xác suất hay Thống kê ứng dụng.

2. Định nghĩa chính xác phương sai S²

Cho một mẫu gồm$n$số liệu$x_1, x_2,..., x_n$. Giá trị trung bình mẫu là:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 +... + x_n}{n}$

Phương sai của mẫu, ký hiệu$S^2$, là số đo thể hiện mức độ phân tán của các số liệu quanh giá trị trung bình. Công thức tính phương sai là:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Với bảng tần số hoặc bảng tần số ghép nhóm, công thức trở thành:

$S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2$

trong đó $n_i$là tần số của giá trị $x_i$,$k$là số giá trị khác nhau.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Cho dãy số liệu: 4, 6, 8, 10.

$n=4$

$\bar{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 10}{4} = 7$

Tính bình phương từng độ lệch:

Tổng các giá trị:$9 + 1 + 1 + 9 = 20$

Tính phương sai:$S^2 = \frac{20}{4} = 5$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu tất cả các giá trị trong mẫu đều bằng nhau thì $S^2 = 0$(mẫu không có sự phân tán).
- Trong bảng tần số, cần nhân bình phương độ lệch với tần số tương ứng rồi mới cộng lại.
- Nếu tính phương sai cho mẫu chứ không phải toàn bộ tổng thể, đôi khi mẫu được lấy chia cho$n-1$thay vì $n$, gọi là phương sai mẫu hiệu chỉnh.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương sai có mối quan hệ trực tiếp với:

6. Các bài tập mẫu phương sai S² có lời giải chi tiết

$\bar{x} = \frac{2+3+3+5+7}{5} = 4$

Tính các bình phương:
$(2-4)^2 = 4 \quad (3-4)^2 = 1 \quad (3-4)^2 = 1 \quad (5-4)^2 = 1 \quad (7-4)^2 = 9$
Tổng các bình phương:$4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16$
Phương sai:$S^2 = \frac{16}{5} = 3.2$

| Giá trị $x_i$| 1 | 2 | 3 |
|----|---|---|---|
| Tần số $n_i$| 2 | 3 | 1 |

Tính trung bình:
$\bar{x} = \frac{1<em>2 + 2</em>3 + 3*1}{2+3+1} = \frac{2 + 6 + 3}{6} = 1.83...$
Tính phương sai:

$(1-1.83)^2 <em> 2 \approx 1.38$
$(2-1.83)^2 </em> 3 \approx 0.09$
$(3-1.83)^2 * 1 \approx 1.36$
Tổng bình phương:$1.38 + 0.09 + 1.36 = 2.83$
Phương sai:$S^2 = \frac{2.83}{6} \approx 0.472$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ