Giải thích chi tiết hàm chi phí cận biên cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm chi phí cận biên và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt ở chương tích phân và ứng dụng, khái niệm hàm chi phí cận biên được sử dụng rộng rãi để giải các bài toán thực tiễn liên quan đến sản xuất, kinh tế. Nó giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa toán học và thực tế, ứng dụng đạo hàm để nghiên cứu sự biến thiên chi phí khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.

2. Định nghĩa chính xác hàm chi phí cận biên

Giả sử $C(x)$là hàm chi phí sản xuất$x$sản phẩm, với$x$là số lượng sản phẩm (có thể là một số nguyên dương). Khi đó:

Hàm chi phí cận biên tại$x$chính là đạo hàm của hàm chi phí $C(x)$, ký hiệu là $C'(x)$. Nó cho biết chi phí cần thiết để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm khi đã sản xuất được$x$sản phẩm.

Công thức tổng quát:

$C'(x) = \frac{dC(x)}{dx}$

Đơn vị của$C'(x)$thường là đồng/phần sản phẩm (nếu$C(x)$ đơn vị là đồng,$x$là sản phẩm).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử một công ty có hàm chi phí sản xuất là $C(x) = 2x^2 + 5x + 100$(trong đó $x$là số sản phẩm,$C(x)$tính bằng triệu đồng). Hãy xác định hàm chi phí cận biên và ý nghĩa của nó.

1. Tính đạo hàm$C'(x)$:
   
   $C'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 5x + 100) = 4x + 5$
2. Ý nghĩa: Để sản xuất thêm một sản phẩm tại thời điểm đã sản xuất$x$sản phẩm, cần thêm$(4x + 5)$triệu đồng.
3. Ví dụ: Nếu$x = 10$,$C'(10) = 4 \times 10 + 5 = 45$triệu đồng. Vậy cần thêm 45 triệu đồng để sản xuất sản phẩm thứ 11.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Chỉ ý nghĩa thực tế khi$x$là số tự nhiên dương (vì số lượng sản phẩm chỉ nhận giá trị nguyên dương).
• Nếu hàm chi phí $C(x)$là đường thẳng ($C(x) = ax + b$) thì chi phí cận biên không đổi:$C'(x) = a$.
• Hàm chi phí cận biên có thể thay đổi hoặc tăng lên cùng với số lượng sản phẩm$x$.
• Không tính cận biên tại các giá trị $x$không xác định (ngoại lệ chia cho 0, gốc hàm không xác định, v.v.).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm chi phí cận biên liên quan trực tiếp đến đạo hàm của hàm số, một khái niệm cốt lõi trong giải tích lớp 12. Nó phản ánh tốc độ biến thiên (tức là tốc độ thay đổi chi phí khi tăng thêm một đơn vị sản phẩm). Đồng thời, nó còn là nền tảng để hiểu sâu hơn về các bài toán tối ưu hóa, cực trị và các ứng dụng thực tế khác.

Ngoài ra, hàm chi phí cận biên cũng có thể liên hệ với các khái niệm tích phân, tổng chi phí sản xuất trong một đoạn số lượng sản phẩm, hoặc suy luận về tổng lợi nhuận, v.v.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

1. Bài 1: Một xưởng may có hàm chi phí $C(x) = 3x^2 + 2x + 50$(triệu đồng),$x$là số sản phẩm. Tính chi phí cận biên tại$x = 5$.
2. Giải:
   
   $C'(x) = 6x + 2$
   
   $C'(5) = 6 \times 5 + 2 = 32$
   
   Vậy chi phí cận biên tại$x = 5$là 32 triệu đồng.
3. Bài 2: Cho hàm chi phí cận biên$C'(x) = 10x - 5$. Biết$C(1) = 20$triệu đồng. Hãy lập công thức hàm chi phí $C(x)$.
   
   Giải:
   
   $C(x) = \int C'(x)dx = \int (10x - 5)dx = 5x^2 - 5x + C$
   
   Thay$x = 1$,$C(1) = 20$:
   
   $5 \times 1^2 - 5 \times 1 + C = 20 \Rightarrow 0 + C = 20 \Rightarrow C = 20$.
   
   Vậy$C(x) = 5x^2 - 5x + 20$(triệu đồng).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên lấy đạo hàm hàm chi phí để tìm chi phí cận biên mà dùng nguyên hàm hoặc giá trị trực tiếp.
• Nhầm lẫn giữa chi phí cận biên và tổng chi phí.
• Sử dụng hàm số $x$ âm hoặc giá trị ngoài phạm vi thực tế.
• Bỏ qua ý nghĩa thực tế: chỉ số nguyên dương và đơn vị tính.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

1. Hàm chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí:$C'(x) = \frac{dC(x)}{dx}$.
2. Nó cho biết chi phí sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm ở mức$x$.
3. Chỉ có ý nghĩa với$x$nguyên dương (số sản phẩm).
4. Có thể dùng tích phân để tìm lại hàm chi phí từ hàm chi phí cận biên.
5. Luôn lưu ý về đơn vị, phạm vi và ý nghĩa thực tiễn khi giải bài toán.