1. Giới thiệu chung về hàm hữu tỉ

Hàm hữu tỉ là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt trong phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc hiểu rõ khái niệm này không chỉ giúp học sinh làm tốt các dạng bài tập trắc nghiệm, tự luận mà còn hỗ trợ học sinh phát triển tư duy logic, làm nền tảng khi học các kiến thức toán học cao cấp hơn về sau như giải tích hay đại số. Hiểu về hàm hữu tỉ cũng cực kỳ cần thiết khi học các chủ đề liên quan như tiệm cận, giới hạn, đạo hàm và tích phân.

2. Định nghĩa chính xác của hàm hữu tỉ

Hàm hữu tỉ là hàm số được xác định dưới dạng tỉ số của hai đa thức. Cụ thể, hàm số $f(x)$ được gọi là hàm hữu tỉ nếu nó có dạng:

Trong đó $P(x)$và $Q(x)$là hai đa thức. Đa thức$Q(x) <br> \neq 0$(không phải đa thức bằng 0), vì mẫu số không được phép bằng 0. Tập xác định của hàm hữu tỉ là tập hợp tất cả các giá trị $x$thực sao cho$Q(x) <br> \neq 0$.

3. Giải thích chi tiết và ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, cùng phân tích từng yếu tố:

• Tử số $P(x)$và mẫu số $Q(x)$ đều là đa thức, nghĩa là các biểu thức chứa biến$x$với lũy thừa tự nhiên.
• Mẫu số $Q(x)$không được phép bằng 0 tại bất kỳ giá trị $x$nào trong tập xác định.

Ví dụ 1: Xét hàm số $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

- Tử số $P(x) = 2x + 1$là đa thức bậc nhất.

- Mẫu số $Q(x) = x - 3$là đa thức bậc nhất,$Q(x) <br> \neq 0$.

- Tập xác định là $\mathscr{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x <br> \neq 3\}$.

Ví dụ 2:$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 6}$

Ta phân tích mẫu số:$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$, nên$Q(x) = x^2 + x - 6 <br> \neq 0$khi$x <br> \neq 2$,$x <br> \neq -3$.

Tập xác định:$\mathscr{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x <br> \neq 2, x <br> \neq -3\}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi làm bài

- Nếu tử số cũng đồng thời triệt tiêu với mẫu số tại một số giá trị $x$(tức là, tại một số $x_0$, cả $P(x_0) = 0$và $Q(x_0) = 0$), đó là "điểm loại bỏ" khỏi tập xác định (nguy cơ xuất hiện "lỗ hổng" trên đồ thị hàm số).

- Một số hàm hữu tỉ đặc biệt là hàm nhất biến trên mẫu nhất biến (phân thức bậc nhất trên bậc nhất), hoặc bậc hai trên bậc nhất/bậc hai, v.v... Mỗi loại sẽ mang những đặc điểm riêng khi khảo sát đồ thị (ví dụ: dạng tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, điểm uốn, ...).

- Chú ý: Hàm đa thức (ví dụ:$f(x) = 3x^2 + 5x + 7$) cũng được xem là hàm hữu tỉ với mẫu số là $1$nhưng ta thường gọi chung là "hàm đa thức".

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm hữu tỉ là tập hợp mở rộng so với hàm đa thức và là trường hợp riêng của hàm đại số. Chúng liên hệ mật thiết với:

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: Xác định tiệm cận đứng, ngang, xiên; tìm miền xác định, phân tích hành vi tại vô cùng hoặc tại các điểm loại trừ.
• Giới hạn hàm số: Tính giới hạn khi$x$tiến ra vô cùng hoặc đến các điểm đặc biệt.
• Đạo hàm và tích phân: Ứng dụng trong tìm cực trị, tính diện tích hình phẳng hoặc các hàm phân thức.

Khái niệm hàm hữu tỉ cũng xuất hiện trong các bài toán thực tiễn như giải bài toán chuyển động có vận tốc thay đổi, tính toán dòng chảy, tốc độ phản ứng hóa học, v.v...

6. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm tập xác định của hàm số $f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 9}$.

Giải:

$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$hoặc$x = -3$.

Vậy tập xác định là $\mathscr{D} = \{x \in \mathbb{R} \mid x <br> \neq 3, x <br> \neq -3\}$.

Bài tập 2: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số $f(x) = \frac{2x + 5}{x - 4}$.

Giải:

• Tiệm cận đứng:$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
• Tiệm cận ngang:$\displaystyle \lim_{x\to \pm \infty} f(x) = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{2x + 5}{x - 4} = 2$.

Vậy tiệm cận đứng là $x = 4$, tiệm cận ngang là $y = 2$.

Bài tập 3: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 6}$.

Giải:

Ta có:$f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 - 6} = \frac{x^2}{x^2 - 6} = f(x)$.

Vậy hàm số chẵn.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không xét điều kiện mẫu số khác 0 dẫn đến giải sai tập xác định.
• Bỏ sót các giá trị loại bỏ (tử và mẫu đồng thời bằng 0 tại một giá trị).
• Không phân tích bậc tử và mẫu khi tìm tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên.
• Tính sai giới hạn tại các điểm đặc biệt do không tách được phân số hoặc không rút gọn đa thức.

8. Tóm tắt và những điểm chính cần nhớ

• Hàm hữu tỉ là tỉ số giữa hai đa thức$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$,$Q(x) <br> \neq 0$.
• Đặc điểm cơ bản: tập xác định loại bỏ mọi nghiệm của$Q(x) = 0$.
• Có tiệm cận đứng ứng với nghiệm của mẫu số, tiệm cận ngang hoặc xiên tùy vào bậc tử và mẫu.
• Thường xuất hiện trong các dạng bài khảo sát hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân.

Việc vững kiến thức về hàm hữu tỉ sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các dạng bài liên quan trong chương trình Toán 12 và các kì thi quan trọng như THPT Quốc Gia.