Blog

Lớp 12

Giải thích chi tiết về Hàm lượng giác cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về Hàm lượng giác và tầm quan trọng

Hàm lượng giác là một trong những khái niệm cốt lõi của chương trình toán học lớp 12 cũng như toán học hiện đại. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các hàm lượng giác không chỉ cần thiết trong các bài tập lượng giác, mà còn vô cùng quan trọng đối với các chuyên đề giải tích, hình học, vật lý, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác.

Trong chương trình Toán lớp 12, các hàm lượng giác như sin, cos, tan, cot, sec, cosec xuất hiện thường xuyên. Chúng không chỉ là công cụ giải toán mà còn là kiến thức nền tảng cho đại học và các môn học khác.

2. Định nghĩa chính xác về Hàm lượng giác

Hàm lượng giác là các hàm toán học dùng để mô tả mối quan hệ giữa các góc và các cạnh của tam giác vuông, đồng thời cũng là các hàm tuần hoàn khi mở rộng sang các giá trị thực và phức. Các hàm lượng giác cơ bản gồm:

  • - Hàm sin: sin⁡x\sin x
  • - Hàm cos:cos⁡x\cos x
  • - Hàm tan:tan⁡x\tan x
  • - Hàm cot:cot⁡x\cot x
  • - Hàm sec: sec⁡x\sec x
  • - Hàm cosec:csc⁡x\csc x

    • Đối với một gócxx(đơn vị thường dùng là radian trong toán học bậc cao), các hàm lượng giác được định nghĩa trên vòng tròn lượng giác như sau:

  • - sin⁡x\sin xlà tung độ của điểm trên vòng tròn lượng giác ứng với gócxx.
  • -cos⁡x\cos xlà hoành độ của điểm trên vòng tròn lượng giác ứng với gócxx.

    • Các hàm còn lại được định nghĩa dựa trên sin và cos:

  • tan⁡x=sin⁡xcos⁡x (cos⁡x≠0)\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \ (\cos x \neq 0)
  • cot⁡x=cos⁡xsin⁡x (sin⁡x≠0)\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \ (\sin x \neq 0)
  • sec⁡x=1cos⁡x (cos⁡x≠0)\sec x = \frac{1}{\cos x} \ (\cos x \neq 0)
  • csc⁡x=1sin⁡x (sin⁡x≠0)\csc x = \frac{1}{\sin x} \ (\sin x \neq 0)

    • 3. Giải thích từng hàm lượng giác với ví dụ minh họa

    Hãy xem xét tam giác vuôngABCABCtạiAA, với gócB=xB = x. Khi đó:

  • - sin⁡x=Đo^ˊiHuye^ˋn=ACBC\sin x = \frac{Đối}{Huyền} = \frac{AC}{BC}
  • - \cos x = \frac{Kề}{Huyền} = \frac{AB}{BC}
  • - \tan x = \frac{Đối}{Kề} = \frac{AC}{AB}
  • - \cot x = \frac{Kề}{Đối} = \frac{AB}{AC}

    • Ví dụ: Cho tam giác vuông với cạnh góc vuôngAC=3AC = 3,AB=4AB = 4, cạnh huyềnBC=5BC = 5. Khi đó:

    + sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5}

    +cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5}

    +tan⁡x=34\tan x = \frac{3}{4}

    +cot⁡x=43\cot x = \frac{4}{3}

    Trên vòng tròn lượng giác, các giá trị hàm lượng giác theo gócxxlần lượt thể hiện vị trí tương ứng trên trụcOxOx(hoành độ) và OyOy(tung độ) của điểm thuộc đường tròn bán kính11(đơn vị tròn lượng giác).

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng khi áp dụng

    Một số giá trị đặc biệt của các hàm lượng giác:

  • - x=0x = 0: sin⁡0=0\sin 0 = 0, cos⁡0=1\cos 0 = 1, tan⁡0=0\tan 0 = 0
  • - x=π2x = \frac{\pi}{2}: sin⁡π2=1\sin \frac{\pi}{2} = 1, cos⁡π2=0\cos \frac{\pi}{2} = 0, tan⁡π2\tan \frac{\pi}{2} không xác định
  • - x=πx = \pi: sin⁡π=0\sin \pi = 0, cos⁡π=−1\cos \pi = -1, tan⁡π=0\tan \pi = 0
  • - x=2πx = 2\pi: sin⁡2π=0\sin 2\pi = 0, cos⁡2π=1\cos 2\pi = 1, tan⁡2π=0\tan 2\pi = 0

    • Lưu ý về điều kiện xác định của từng hàm:

  • - sin⁡x\sin xvà cos⁡x\cos xxác định với mọixx.
  • - tan⁡x\tan x, sec⁡x\sec xxác định khicos⁡x≠0\cos x \neq 0.
  • - cot⁡x\cot x, csc⁡x\csc xxác định khisin⁡x≠0\sin x \neq 0.

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Hàm lượng giác gắn bó chặt chẽ với nhiều khái niệm trong đại số, hình học và giải tích:

  • - Trong giải tích: Hàm lượng giác có đạo hàm, tích phân, chu kỳ, đồ thị đặc trưng.
  • - Trong hình học: Dùng giải tam giác, xác định khoảng cách, góc độ.
  • - Với số phức: Hàm lượng giác xây dựng thành phần lượng giác của số phức.

    • 6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài 1: Tính giá trị: sin⁡30∘\sin 30^\circ, cos⁡45∘\cos 45^\circ, tan⁡60∘\tan 60^\circ.

    Giải:

  • sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
  • cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
  • tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}

    • Bài 2: Tìm xxbiếtsin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2}, 0<x<180∘0 < x < 180^\circ.

    Giải:

    sin⁡x=12⇒x=30∘\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30^\circhoặcx=150∘x = 150^\circ(trong khoảng0<x<180∘0 < x < 180^\circ)

    Bài 3: Cho biếttan⁡x=1\tan x = 1và 0∘<x<180∘0^\circ < x < 180^\circ. Xác địnhxx.

    Giải:

    tan⁡x=1⇒x=45∘\tan x = 1 \Rightarrow x = 45^\circhoặcx=225∘x = 225^\circ(vì chu kỳ hàm tan là 180∘180^\circ)

    Tuy nhiên0∘<x<180∘0^\circ < x < 180^\circnênx=45∘x = 45^\circhoặcx=135∘x = 135^\circ.

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Lỗi nhầm đơn vị độ và radian (cần chú ý chuyển đổi180∘=π180^\circ = \pirad)
  • - Lỗi chia cho 0 khi tínhtan⁡x\tan xhoặccot⁡x\cot x(phải kiểm tra mẫu số khác 0)
  • - Lỗi xác định sai giá trị các góc đặc biệt (nên học thuộc bảng giá trị)
  • - Nhầm dấu âm/dương giữa các góc ở các góc phần tư khác nhau

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

    - Hàm lượng giác là công cụ toán học thiết yếu kiểu mẫu cho mọi học sinh lớp 12.

    - Biết định nghĩa, tính chất, giá trị đặc biệt và mối liên hệ giữa các hàm rất quan trọng.

    - Hàm lượng giác liên quan trực tiếp tới hình học, giải tích và ứng dụng thực tế.

    - Luôn kiểm tra điều kiện xác định và nhớ giá trị đặc biệt của các hàm lượng giác.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".