Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất: y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} – Giải thích chi tiết và hướng dẫn học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất và tầm quan trọng trong chương trình Toán lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một chủ đề quan trọng, thường gặp ở các kỳ thi THPT Quốc gia. Một trong những dạng hàm số cơ bản nhưng cũng nhiều thách thức là hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, có dạng tổng quát là:
y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}
.

Dạng hàm số này vừa mang tính lý thuyết (về khảo sát sự biến thiên, cực trị, tiệm cận, đồ thị) vừa có ý nghĩa thực tiễn (mô hình hóa các bài toán thực tế). Hiểu và thành thạo các kỹ năng liên quan sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

2. Định nghĩa và khái niệm chính xác về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là một hàm số được xác định bởi biểu thức:

$y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$
Trong đó:
-$a, b, c, m, n$: các hằng số thực với$a \ne 0$và $m \ne 0$ để tử số là bậc hai, mẫu số là bậc nhất.
- Điều kiện xác định:$mx + n \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -\frac{n}{m}$.

Đây là một dạng đặc biệt của hàm phân thức hữu tỉ nói chung và thường xuất hiện trong các bài toán khảo sát hàm số, tìm cực trị, xác định giới hạn, tiệm cận, vẽ đồ thị.

3. Giải thích từng bước khảo sát hàm với ví dụ minh họa

Giả sử ta khảo sát hàm số:
$y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$
Các bước khảo sát như sau:

• a) Xác định tập xác định
• Hàm xác định khi $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$, do đó, $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
• b) Tìm tiệm cận đứng
  - Mẫu số bằng 0 tại$x = 2$($x - 2 = 0$). Vậy,$x = 2$là tiệm cận đứng.
• c) Tìm tiệm cận ngang hoặc xiên
  - Chia tử cho mẫu:
  $2x^2 - 3x + 1$chia cho$x - 2$:
  
  Viết$2x^2 - 3x + 1 = (x - 2)q(x) + r(x)$với$q(x)$là bậc nhất.
  
  Chia:
  -$2x^2$chia$x$ được$2x$, nhân$2x$với$x - 2$ được$2x^2 - 4x$, trừ ta được:
  $2x^2 - 3x + 1 - (2x^2 - 4x) = (2x^2 - 3x + 1) - 2x^2 + 4x = (0x^2) + (1x) + 1 = x + 1$
  -$x + 1$chia$x$ được$1$, nhân$1$với$x - 2$ được$x - 2$, trừ được$(x + 1) - (x - 2) = 3$
  
  Vậy:
  $2x^2 - 3x + 1 = (x - 2)(2x + 1) + 3$
  
  Do đó:
  $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} = 2x + 1 + \frac{3}{x - 2}$
  
  Hàm có tiệm cận xiên là $y = 2x + 1$(vì tử bậc hơn mẫu một bậc).
• d) Giới hạn tại các tiệm cận
  - Khi$x \to 2^+$hoặc$x \to 2^-$,$y \to +\infty$hoặc$-\infty$tùy theo chiều tiến tới (do mẫu tiến về 0, xác định dấu nhẩm dễ).
  - Khi$x \to \pm \infty$,$y \to 2x + 1$(do số dư nhỏ, phần$\frac{3}{x-2}$tiến về 0).
• e) Tìm giao điểm với trục hoành
  - Giải$2x^2 - 3x + 1 = 0$:
  $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 > 0$
  $x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2}$ (đều khác 2)
  Vậy giao điểm:$M_1(1;0)$,$M_2\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Tương tự, có thể khảo sát cực trị, xét bảng biến thiên, vẽ đồ thị với sự hỗ trợ của máy tính hoặc vẽ tay.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• a) Nếu hệ số tử vừa bậc hai, hệ số mẫu bậc nhất (chuẩn) thì hàm có tiệm cận xiên.
• b) Nếu tử bậc thấp hơn mẫu (ví dụ $ax^2 + bx + c$và $mx^2 + n$), hàm có tiệm cận ngang$y = 0$.
• c) Nếu mẫu chia hết tử (dạng rút gọn còn đa thức hoặc bậc nhất trên bậc nhất), cần rút gọn rồi khảo sát.
• d) Không bao giờ được quên điều kiện xác định khi làm bài.
• e) Luôn kiểm tra các giao điểm, cực trị xảy ra trong tập xác định hay không.

5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là trường hợp đặc biệt của hàm phân thức hữu tỉ.
- Việc chia tử cho mẫu giúp xác định tiệm cận xiên, liên hệ tới phép chia đa thức.
- Quá trình khảo sát ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị, liên hệ với giải tích.
- Kiến thức về nghiệm đa thức, điều kiện xác định liên hệ tới đại số lớp dưới.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Cho hàm số $y = \frac{3x^2 - 6x + 5}{2x + 1}$

• a) Xác định tập xác định.
  Điều kiện xác định: $2x+1\ne 0 \Leftrightarrow x \ne -\frac{1}{2}$.
  Tập xác định: $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.
• b) Tìm tiệm cận.
  - Tiệm cận đứng tại$x = -\frac{1}{2}$.
  - Chia tử cho mẫu:
  $3x^2 - 6x + 5 = (2x+1)q(x) + r(x)$.
  
  Chia:$3x^2$chia$2x$ được$\frac{3}{2}x$.
  $\frac{3}{2}x \cdot (2x+1) = 3x^2 + \frac{3}{2}x$
  $3x^2 - 6x + 5 - (3x^2 + \frac{3}{2}x) = -6x + 5 - \frac{3}{2}x = (-6 - \frac{3}{2})x + 5 = -\frac{15}{2}x + 5$
  
  $-\frac{15}{2}x$chia$2x$ được$-\frac{15}{4}$.
  $-\frac{15}{4} \cdot (2x+1) = -\frac{15}{2}x - \frac{15}{4}$
  $-\frac{15}{2}x + 5 - ( -\frac{15}{2}x - \frac{15}{4}) = 5 + \frac{15}{4} = \frac{35}{4}$
  
  Vậy:
  $3x^2 - 6x + 5 = (2x+1)\left(\frac{3}{2}x - \frac{15}{4}\right) + \frac{35}{4}$
  
  Do đó:
  $y = \frac{3x^2 - 6x + 5}{2x + 1} = \frac{3}{2}x - \frac{15}{4} + \frac{35}{4(2x + 1)}$
  
  Tiệm cận xiên:$y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{4}$.
  Khi$x\to -\frac{1}{2} \pm 0$,$y\to \pm \infty$.
  Khi$x\to \pm \infty$,$y\to \frac{3}{2}x-\frac{15}{4}$.
• c) Giao điểm trục hoành:
  $3x^2 -6x + 5 = 0$
  $\Delta = 36 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24 < 0$
  => Không cắt trục hoành.

Học sinh có thể tiếp tục với tìm cực trị (lấy đạo hàm, xét dấu) và vẽ bảng biến thiên.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên điều kiện xác định (chia cho 0).
• Sai khi chia đa thức (cần cẩn thận về dấu và hệ số).
• Nhầm lẫn loại tiệm cận (ngang, xiên, đứng).
• Không kiểm tra kiểm tra nghiệm giao hoành có thuộc tập xác định.
• Khi vẽ đồ thị không biểu diễn đúng phần không xác định, trục tiệm cận.

8. Tóm tắt – Các điểm cần nhớ về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

• Dạng tổng quát:$y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$,$a e 0$,$m \ne 0$.
• Tập xác định:$mx + n \ne 0$.
• Có tiệm cận đứng tại gốc mẫu, xiên ở $y = \frac{a}{m}x + \frac{b m - n a}{m^2}$(tìm khi chia đa thức).
• Cách khảo sát: lập bảng, tìm cực trị bằng đạo hàm, xét tiệm cận và vẽ đồ thị.
• Cẩn trọng khi rút gọn và kiểm tra điều kiện xác định, luôn làm từng bước cẩn thận.