Giải thích chi tiết về Tính tích vô hướng của hai vectơ – Toán 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của Tích vô hướng

Trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở phần Hình học không gian, các phép toán với vectơ đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về hình học giải tích, vật lý và nhiều ứng dụng thực tiễn. Một trong những phép toán cơ bản và cực kỳ quan trọng là phép tính tích vô hướng của hai vectơ. Việc hiểu rõ khái niệm và cách vận dụng tích vô hướng giúp học sinh giải quyết thành thạo các bài tập liên quan đến góc giữa hai vectơ, nhận biết hai vectơ vuông góc, tính hình chiếu, cũng như giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng và đường thẳng.

2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$, tích vô hướng (hay còn gọi là tích trong) của hai vectơ này được định nghĩa là:
$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta<br />$
trong đó:
-$|\vec{a}|$,$|\vec{b}|$là độ dài (mô-đun) của hai vectơ
-$\theta$là góc hợp bởi hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$(với$0 \leq \theta \leq \pi$)

Kết quả của tích vô hướng là một số thực (không phải là một vectơ).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Có hai cách tính tích vô hướng giữa hai vectơ tuỳ theo bạn biết tọa độ hay biết độ dài và góc giữa hai vectơ.

a) Khi biết tọa độ các vectơ

Giả sử:
$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$,$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$

Khi đó:
$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3<br />$

Ví dụ minh họa:
Cho$\vec{a} = (2, 3, -1)$,$\vec{b} = (4, -2, 1)$. Khi đó:
$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 4 + 3 \times (-2) + (-1) \times 1 = 8 - 6 - 1 = 1<br />$

b) Khi biết độ dài và góc giữa hai vectơ

Ví dụ:
Cho hai vectơ $\vec{a}$,$\vec{b}$có độ dài lần lượt là $5$và $4$, góc giữa chúng là $60^\circ$.
$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 4 \times \cos 60^\circ = 20 \times 0,5 = 10<br />$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• a) Nếu hai vectơ cùng phương ($\theta = 0^\circ$,$\cos 0 = 1$):

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|<br />$

• b) Nếu hai vectơ vuông góc ($\theta = 90^\circ$,$\cos 90^\circ = 0$):

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = 0<br />$

• c) Nếu hai vectơ ngược hướng ($\theta = 180^\circ$,$\cos 180^\circ = -1$):

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|<br />$

Lưu ý: Nếu kết quả tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ hoặc một trong các vectơ là vectơ không, hoặc hai vectơ vuông góc với nhau.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài tập 1:
  Cho$\vec{a} = (2, -1, 4)$,$\vec{b} = (1, 3, -2)$. Tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

$\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ với các tích thành phần $a_1b_1$ (màu xanh), $a_2b_2$ (màu cam) và $a_3b_3$ (màu xanh lá) được tô màu tương ứng" title="Hình minh họa: Minh họa công thức $\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ với các tích thành phần $a_1b_1$ (màu xanh), $a_2b_2$ (màu cam) và $a_3b_3$ (màu xanh lá) được tô màu tương ứng" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Lời giải:

$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = 2 - 3 - 8 = -9<br />$

• Bài tập 2:
  Cho$|\vec{a}| = 6$,$|\vec{b}| = 5$, góc giữa hai vectơ là $120^\circ$. Tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải:

$<br />\cos 120^\circ = -0,5<br />$
$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \times 5 \times (-0,5) = -15<br />$

• Bài tập 3:
  Tìm$x$để hai vectơ$\vec{a} = (x, 1, -3)$và $\vec{b} = (2, 5, 1)$vuông góc.

Lời giải:

Vì hai vectơ vuông góc nên:
$<br />\vec{a} \cdot \vec{b} = 0<br />$

Ta có:
$<br />x \cdot 2 + 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 = 0 \Rightarrow 2x + 5 - 3 = 0 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1<br />$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ