Giải thích chi tiết: Xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây (Toán 12)

1. Giới thiệu về xác suất có điều kiện và sơ đồ hình cây

Trong chương trình Toán lớp 12, xác suất là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh tiếp cận các vấn đề thực tế có yếu tố ngẫu nhiên. Đặc biệt, khái niệm xác suất có điều kiện cho phép ta tính toán khả năng xảy ra của một sự kiện khi đã biết thông tin bổ sung nào đó. Sơ đồ hình cây là một phương tiện trực quan, đơn giản hóa quá trình tính xác suất có điều kiện, giúp học sinh hình dung rõ ràng hơn mối quan hệ giữa các sự kiện. Việc hiểu rõ và nắm bắt được cách sử dụng xác suất có điều kiện cùng sơ đồ hình cây sẽ vô cùng hữu ích không chỉ trong học tập mà còn áp dụng trong đời sống, khoa học, công nghệ, kinh tế và nhiều lĩnh vực khác.

2. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Giả sử $A$và $B$là hai sự kiện, với$P(B) > 0$. Khi đó, xác suất có điều kiện của$A$khi biết$B$đã xảy ra, ký hiệu là$P(A|B)$, được định nghĩa như sau:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Ý nghĩa:$P(A|B)$là xác suất xảy ra sự kiện$A$dưới điều kiện sự kiện$B$ đã xảy ra.

3. Sơ đồ hình cây và cách sử dụng

Sơ đồ hình cây (tree diagram) là công cụ trực quan giúp phân tích các quá trình gồm nhiều bước, mỗi bước lại có các khả năng xảy ra khác nhau. Mỗi nhánh trên cây biểu diễn xác suất của một lựa chọn hoặc sự kiện. Bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây, học sinh dễ dàng nhận thấy các trường hợp, hình dung chuỗi sự kiện và tính xác suất tổng thể hoặc xác suất có điều kiện.

Đặc điểm:

• Mỗi nhánh từ một 'nút' (một trạng thái, một sự kiện) tượng trưng cho một lựa chọn hay một khả năng có thể xảy ra tiếp theo.
• Tích các xác suất tương ứng trên các nhánh từ gốc đến lá là xác suất của chuỗi sự kiện đó.
• Dễ dàng xác định các xác suất cục bộ, xác suất liên quan và xác suất có điều kiện.

4. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ: Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được 1 bi đỏ ở lần thứ 2 biết rằng lần đầu tiên đã lấy được 1 bi đỏ.

Giải thích từng bước:

1. Sự kiện$A$: Lấy được bi đỏ ở lần 2.
2. Sự kiện$B$: Lấy được bi đỏ ở lần 1.
3. Tổng số bi là 5. Xác suất lấy được bi đỏ lần 1:$P(B) = \frac{3}{5}$.
4. Sau khi đã lấy được 1 bi đỏ, còn lại 2 đỏ và 2 xanh, nên xác suất lấy được bi đỏ lần 2 là:$P(A|B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
5. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{2}$.

Minh họa sơ đồ hình cây:

- Nhánh 1: Lấy 1 bi đỏ ($P = \frac{3}{5}$)
 + Nhánh 1.1 (sau khi đã lấy 1 đỏ): Lấy tiếp 1 đỏ ($P = \frac{2}{4}$)
 + Nhánh 1.2: Lấy 1 xanh ($P = \frac{2}{4}$)

- Nhánh 2: Lấy 1 xanh ($P = \frac{2}{5}$)
 + Nhánh 2.1: Lấy 1 đỏ ($P = \frac{3}{4}$)
 + Nhánh 2.2: Lấy 1 xanh ($P = \frac{1}{4}$)

Nhìn vào cây, xác suất đi từ gốc đến nhánh đầu tiên (lấy 1 đỏ lần 1, lấy 1 đỏ lần 2) là $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$.

Tuy nhiên, nếu chỉ quan tâm đến xác suất có điều kiện (lần 2 lấy đỏ biết lần 1 đã đỏ), thì đó chính là $P(A|B) = \frac{1}{2}$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu$P(B) = 0$thì $P(A|B)$không xác định (điều kiện để sử dụng xác suất có điều kiện là $P(B) > 0$).
• Nếu$A$và $B$độc lập, thì$P(A|B) = P(A)$. Trường hợp này, việc biết$B$không ảnh hưởng đến xác suất$A$.
• Khi các sự kiện tạo thành hệ đầy đủ và phân biệt, tổng các xác suất của các trường hợp phân tích trên hình cây phải bằng 1.
• Các sơ đồ hình cây thường dùng cho bài toán nhiều bước, nhiều khả năng, chuỗi sự kiện liên tiếp nhau.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Xác suất có điều kiện có liên hệ chặt chẽ với quy tắc nhân xác suất:$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$.
• Liên hệ với hệ đầy đủ các sự kiện: nếu $B_1, B_2,..., B_n$là một hệ đầy đủ thì $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \times P(A|B_i)$ (định lý xác suất toàn phần).
• Liên hệ với công thức Bayes: $P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \times P(A|B_i)}{\sum_{k=1}^{n} P(B_k) \times P(A|B_k)}$.

7. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một hộp có 4 bi trắng và 6 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được 1 bi trắng ở lần 2 biết rằng lần đầu đã lấy 1 bi đen.

Giải:

1. Sự kiện$A$: Lấy bi trắng ở lần 2.
2. Sự kiện$B$: Lấy bi đen ở lần 1.
3. Sau lần 1 lấy bi đen, còn lại 4 trắng, 5 đen.
4. Số bi còn lại: 9. Xác suất lần 2 lấy bi trắng biết lần đầu đã lấy đen:
   $P(A|B) = \frac{4}{9}$

Bài tập 2: Một lớp có 60% nam, 40% nữ. Xác suất học sinh nam đạt học lực khá là 0,7; nữ là 0,9. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh đạt học lực khá. Tính xác suất học sinh này là nữ.

1. Gọi$A$: Học sinh là nữ,$B$: Học sinh đạt học lực khá.
2. Cần tính$P(A|B)$.
3. Theo công thức Bayes:
   $P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A')}$
   Với$P(A) = 0,4$,$P(A') = 0,6$,$P(B|A) = 0,9$,$P(B|A') = 0,7$.
4. Vậy:
   $P(A|B) = \frac{0,4 \times 0,9}{0,4 \times 0,9 + 0,6 \times 0,7} = \frac{0,36}{0,36 + 0,42} = \frac{0,36}{0,78} \approx 0,4615$

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không kiểm tra điều kiện$P(B) > 0$khi tính$P(A|B)$.
• Nhầm lẫn thứ tự các sự kiện trên hình cây, dẫn đến tính sai tích xác suất.
• Không vẽ hoặc phân tích hết tất cả các khả năng dẫn đến trường hợp cần tính.
• Quên sử dụng công thức xác suất toàn phần hoặc công thức Bayes khi bài toán yêu cầu.

9. Tóm tắt các điểm cần nhớ

• Xác suất có điều kiện là công cụ giải quyết bài toán xác suất khi thông tin bổ sung đã biết.
• Sơ đồ hình cây giúp hình dung và phân tích các khả năng xảy ra dễ dàng hơn.
• Công thức xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, chú ý điều kiện$P(B) > 0$.
• Liên hệ với xác suất toàn phần, công thức Bayes và các sự kiện độc lập.