Giải thích chi tiết: Xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về xác suất có điều kiện với sơ đồ hình cây

Xác suất có điều kiện là một trong những phần quan trọng nhất của chương trình toán học lớp 12, không chỉ xuất hiện trong các đề thi mà còn có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Khi gặp các bài toán xác suất có nhiều giai đoạn, nhiều lựa chọn liên tiếp, việc sử dụng sơ đồ hình cây là công cụ trực quan và cực kỳ hiệu quả giúp học sinh dễ dàng hình dung, tổ chức và giải quyết vấn đề. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu sâu sắc xác suất có điều kiện thông qua sơ đồ hình cây, dễ áp dụng và tránh nhầm lẫn khi làm bài.

2. Định nghĩa xác suất có điều kiện và sơ đồ hình cây

a) Xác suất có điều kiện

Giả sử $A$và $B$là hai biến cố, với xác suất$P(B) > 0$. Xác suất của biến cố $A$xảy ra khi biết chắc rằng$B$ đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của$A$theo$B$, ký hiệu$P(A|B)$, được xác định bởi công thức:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

b) Sơ đồ hình cây

Sơ đồ hình cây là cách trình bày tất cả các khả năng có thể xảy ra của một chuỗi các phép thử theo dạng nhánh (cành cây), trong đó mỗi nhánh thể hiện một sự kiện và được ghi kèm xác suất tương ứng. Sơ đồ này giúp bạn tính toán xác suất của các biến cố phức tạp dựa trên quy tắc nhân xác suất.

3. Các bước giải bài toán xác suất có điều kiện bằng sơ đồ hình cây

Để giải các bài toán xác suất có điều kiện bằng sơ đồ hình cây, học sinh cần thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định các biến cố cơ bản và các phép thử liên tiếp.
• Bước 2: Vẽ mỗi khả năng xảy ra của phép thử đầu tiên thành các nhánh xuất phát từ gốc.
• Bước 3: Từ mỗi nhánh, vẽ tiếp các khả năng của phép thử tiếp theo, gắn xác suất lên mỗi nhánh nhỏ.
• Bước 4: Để tính xác suất một biến cố, nhân tất cả xác suất trên các nhánh thuộc đường đi mô phỏng kết quả đó.
• Bước 5: Nếu biến cố gồm nhiều đường đi, cộng các xác suất này lại.

4. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh giống hệt nhau. Lấy lần lượt 2 viên bi mà không hoàn lại, hỏi xác suất để viên thứ hai lấy ra là bi xanh?

Phân tích: Việc lấy 2 viên liên tiếp là 2 phép thử liên tiếp nhau (có điều kiện ở bước hai vì số bi trong hộp thay đổi). Ta lập sơ đồ hình cây:

Bước 1: Lấy viên đầu:
- Có thể lấy bi đỏ (R) hoặc bi xanh (X)
•$P(R_1) = \frac{3}{5}$
•$P(X_1) = \frac{2}{5}$

Bước 2: Lấy viên thứ hai với từng trường hợp:
- Trường hợp lấy R ở lần 1, còn lại 2R và 2X:

• Chọn R lần 2:$P(R_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Chọn X lần 2:$P(X_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

- Trường hợp lấy X ở lần 1, còn lại 3R và 1X:

• Chọn R lần 2:$P(R_2|X_1) = \frac{3}{4}$
• Chọn X lần 2:$P(X_2|X_1) = \frac{1}{4}$

Gọi$A$là biến cố "viên thứ hai là bi xanh".
Ta có:

$P(A) = P(R_1) \cdot P(X_2|R_1) + P(X_1) \cdot P(X_2|X_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = 0{,}4$

Vậy xác suất lấy được bi xanh ở lần thứ hai là $0{,}4$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu các phép thử độc lập (rút có hoàn lại), xác suất ở mỗi nhánh là không đổi giữa các phép thử.
• Nếu các phép thử phụ thuộc (rút không hoàn lại), xác suất trên nhánh thứ hai sẽ thay đổi tùy kết quả phép thử đầu tiên.
• Luôn kiểm tra tổng xác suất của tất cả các nhánh từ gốc đến lá phải bằng 1.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Xác suất có điều kiện liên hệ mật thiết với các khái niệm như quy tắc nhân, quy tắc cộng xác suất, biến cố độc lập và các công thức xác suất toàn phần, định lý Bayes. Khi sử dụng sơ đồ hình cây, bạn thực chất đang áp dụng lặp đi lặp lại quy tắc nhân xác suất theo đường đi trên cây.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

• Bài tập 1: Trong hộp có 5 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất để hai viên lấy ra có màu khác nhau.
• Giải:
• Có hai trường hợp:
• • Lần 1 lấy xanh ($X_1$), lần 2 lấy đỏ ($R_2$):
  
  $P(X_1) = \frac{5}{8}$
  $P(R_2|X_1) = \frac{3}{7}$
  Xác suất trường hợp này:$\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$
• • Lần 1 lấy đỏ ($R_1$), lần 2 lấy xanh ($X_2$):
  
  $P(R_1) = \frac{3}{8}$
  $P(X_2|R_1) = \frac{5}{7}$
  Xác suất trường hợp này:$\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$
• Tổng xác suất:$\frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$
• Đáp số:$\frac{15}{28}$

• Bài tập 2: Trong hộp có 4 viên bi trắng, 4 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất để cả hai viên cùng màu.
• Giải:
  Trường hợp cùng trắng:$P(T_1) = \frac{4}{8}$,$P(T_2|T_1) = \frac{3}{7}$
  =>$\frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14}$
  Trường hợp cùng đen:$P(Đ_1) = \frac{4}{8}$,$P(Đ_2|Đ_1) = \frac{3}{7}$
  =>$\frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{14}$
  Tổng$= \frac{3}{14} + \frac{3}{14} = \frac{3}{7}$

8. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Không cập nhật số lượng phần tử sau mỗi phép thử khi các phép thử phụ thuộc (bỏ quên trường hợp rút không hoàn lại).
• Quên cộng các xác suất khi biến cố có nhiều đường đi tương ứng.
• Quên kiểm tra tổng xác suất các trường hợp trong cây bằng 1 để xác nhận không sót trường hợp nào.
• Nhầm lẫn giữa xác suất có điều kiện và xác suất bình thường (không có điều kiện).

9. Tóm tắt: Các điểm quan trọng cần nhớ

• Hiểu xác suất có điều kiện là xác suất xảy ra của một biến cố khi một biến cố khác đã xảy ra.
• Sơ đồ hình cây là công cụ trực quan, vừa giúp trình bày, vừa tối ưu tính toán các xác suất nhiều giai đoạn.
• Công thức xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Áp dụng quy tắc nhân xác suất khi đi theo một nhánh. Áp dụng quy tắc cộng xác suất khi có nhiều đường đi cho biến cố.
• Cẩn thận với xác suất có điều kiện ở các nhánh tiếp theo của sơ đồ cây.