Blog

Hàm bậc ba – Giải thích chi tiết khái niệm quan trọng cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

I. Giới thiệu về hàm bậc ba và tầm quan trọng trong chương trình toán học lớp 12

Trong chương trình toán học lớp 12, các hàm số có vai trò rất quan trọng trong việc giúp học sinh hiểu sâu về mối quan hệ giữa biến số và kết quả của một biểu thức. Trong đó, hàm bậc ba thường xuất hiện trong nhiều dạng bài thi và có ý nghĩa ứng dụng cao trong thực tiễn như mô hình hóa, tối ưu hóa. Việc nắm vững kiến thức về hàm bậc ba sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến khảo sát, vẽ đồ thị, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất và các bài toán thực tiễn.

II. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về hàm bậc ba

Hàm bậc ba là một hàm số có dạng tổng quát như sau:

y=ax3+bx2+cx+dy = ax^3 + bx^2 + cx + d

Trong đó:

  • a,b,c,da, b, c, dlà các hệ số thực.
  • a0a \neq 0(nếua=0a = 0thì hàm không còn là bậc ba).
  • xxlà biến số thực.

Hàm bậc ba thuộc nhóm hàm đa thức, có bậc cao nhất là 33, khác biệt so với hàm bậc nhất (bậc 1) và bậc hai (bậc 2).

III. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Cùng phân tích một ví dụ cụ thể để hiểu rõ về hàm bậc ba:

- Xét hàm số:y=2x33x2+x5y = 2x^3 - 3x^2 + x - 5.

+ Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm này, bạn thực hiện các bước:

  1. Tính đạo hàm để khảo sát sự biến thiên:
  2. Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm để xác định các điểm cực trị.
  3. Lập bảng biến thiên dựa vào dấu của đạo hàm.
  4. Xét hành vi của đồ thị khix±x \rightarrow \pm \infty để biết hướng đi của nhánh đồ thị.

Cụ thể:

- Đạo hàm củay=2x33x2+x5y = 2x^3 - 3x^2 + x - 5là:

y=6x26x+1y' = 6x^2 - 6x + 1

- Tìm nghiệm củay=0y' = 0:

6x26x+1=06x^2 - 6x + 1 = 0

=> x=6±362412=6±2312=3±36x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}

- Ta có 2 điểm cực trị. Thay x1=3+36x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{6}x2=336x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}vào hàmyy để tìm giá trị cực đại và cực tiểu.

Từ đó lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị, xác định hướng đi lên/xuống của các nhánh dựa vào dấu củaaa.

IV. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Có những dạng hàm bậc ba đặc biệt cần chú ý:

  • Trường hợp có 3 nghiệm thực phân biệt – đồ thị giao trục hoành tại 3 điểm.
  • Trường hợp có 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức liên hợp – đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm.
  • Trường hợp hàm bậc ba trùng khít với trục hoành tại một điểmx0x_0nhiều hơn một lần (nghiệm bội).
  • Chú ý dấu của hệ số aaquyết định hướng "mở" của đồ thị:a>0a > 0nhánh trái hướng xuống, nhánh phải hướng lên;a<0a < 0thì ngược lại.

V. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm bậc ba có liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức Toán học khác:

  • Lý thuyết phương trình bậc ba: Phân tích nghiệm, số nghiệm, điều kiện có nghiệm thực.
  • Kiến thức về đạo hàm và khảo sát hàm số.
  • Tối ưu hóa: Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
  • Bài toán ứng dụng thực tế: Dự báo, lập mô hình, tối ưu.

VI. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 với điểm cực trị (0, 2) và (2, -2), điểm uốn (1, 0) và vùng nghịch biến tô màu trên đoạn [0, 2].
Đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 với điểm cực trị (0, 2) và (2, -2), điểm uốn (1, 0) và vùng nghịch biến tô màu trên đoạn [0, 2].

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x33x2+2y = x^3 - 3x^2 + 2

- Đạo hàm:y=3x26xy' = 3x^2 - 6x

- Tìm nghiệm:y=03x26x=0x=0y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x=0hoặcx=2x=2

Tính giá trị hàm tại các điểm này:

  • Tạix=0x=0:y=2y=2.
  • Tạix=2x=2:y=233×22+2=812+2=2y=2^3 - 3 \times 2^2 + 2 = 8-12+2 = -2.

Lập bảng biến thiên (sử dụng đạo hàm cấp hai hoặc kiểm tra dấu đạo hàmyy'trên các khoảng) và vẽ đồ thị dựa theo các điểm cực trị, hành vi tại vô cực.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củay=x3+6x29x+1y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1trên đoạn[0;3][0;3].

- Đạo hàm:y=3x2+12x9y' = -3x^2 + 12x - 9

- Nghiệm:y=03x2+12x9=0y' = 0 \Rightarrow -3x^2 + 12x -9 = 0

Giải phương trình:x24x+3=0(x1)(x3)=0x=1;x=3x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x=1; x=3

Các điểm cần xét:x=0;x=1;x=3x=0; x=1; x=3

  • Tạix=0x=0:y=1y=1
  • Tạix=1x=1:y=1+69+1=3y=-1+6-9+1=-3
  • Tạix=3x=3:y=(27)+6×99×3+1=27+5427+1=1y=-(27)+6 \times 9-9 \times 3+1 = -27 + 54 -27 +1 = 1

=> Giá trị lớn nhất là 11(tạix=0;x=3x=0; x=3), nhỏ nhất là 3-3(tạix=1x=1).

VII. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn dạng hàm bậc ba với bậc hai khia=0a = 0.
  • Sai sót trong tính đạo hàm và tìm nghiệm đạo hàm.
  • Bỏ sót nghiệm biên khi xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn.
  • Không xác định đúng dấu của hệ số aanên vẽ sai hướng đồ thị.
  • Không kiểm tra đầy đủ các điểm cực trị, điểm biên khi giải các bài toán tối ưu.

VIII. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Hàm bậc ba có dạng:y=ax3+bx2+cx+dy = ax^3 + bx^2 + cx + d(a0a \neq 0)
  • Có thể có tối đa 2 điểm cực trị, giá trị lớn/nhỏ nhất được xét bằng đạo hàm.
  • Ứng dụng thực tiễn rộng rãi, xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia.
  • Chú ý khi xét dấuaa để xác định chiều hướng đồ thị.
  • Kết hợp kiến thức về đạo hàm, giải phương trình để khảo sát đồ thị.

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững khái niệm hàm bậc ba, biết cách khảo sát, giải các bài toán mẫu, đồng thời biết tránh các lỗi thường gặp khi học và làm bài tập liên quan đến chủ đề này.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".