Hàm bậc ba: Giải thích chi tiết, ví dụ và hướng dẫn dành cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm bậc ba và tầm quan trọng trong Toán học lớp 12

Trong chương trình Toán học lớp 12, hàm bậc ba là một trong những kiến thức trọng tâm thuộc phần hàm số và đồ thị. Việc hiểu rõ hàm bậc ba không chỉ giúp các em làm chủ các bài toán về khảo sát, vẽ đồ thị, tìm cực trị, mà còn là nền tảng quan trọng phục vụ cho các dạng toán nâng cao và ôn luyện kỳ thi THPT Quốc gia. Ngoài ra, hàm bậc ba còn xuất hiện nhiều trong các bài toán thực tiễn và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Vì vậy, nắm vững khái niệm, tính chất và các phương pháp giải liên quan đến hàm bậc ba là vô cùng cần thiết đối với học sinh lớp 12.

2. Định nghĩa hàm bậc ba

Hàm bậc ba là một hàm số đa thức có dạng tổng quát như sau:

y =$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

trong đó:

• $a$,$b$,$c$,$d$là các hằng số thực
• $a \neq 0$(điều kiện bắt buộc để hàm là bậc ba)

Với các giá trị $a$,$b$,$c$,$d$khác nhau, đồ thị hàm bậc ba sẽ có hình dạng khác nhau. Điều kiện$a \neq 0$ đảm bảo hệ số cao nhất của$x^3$không bằng 0, tức là hàm không bị hạ xuống bậc 2 hoặc bậc thấp hơn.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Xét ví dụ cụ thể

Xét hàm số sau:

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$

b) Tìm tập xác định

Vì hàm số là đa thức nên tập xác định là $ext{R}$(tập hợp số thực):

D = ext{R}

c) Tính đạo hàm và khảo sát cực trị

Đạo hàm của hàm số:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) = 6x^2 - 6x - 12$

Tìm các giá trị $x$để$f'(x) = 0$(các điểm nghi ngờ cực trị):

$6x^2 - 6x - 12$= 0

Giải phương trình bậc hai này:

$x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2,\x = -1$

- Với$x = -1$và $x = 2$, ta thay vào$f(x)$ để tìm giá trị cực trị:

$f(-1)$= 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12

$f(2)$= 2$\times$8 - 3$\times$4 - 12$\times$2 + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15

Như vậy, hàm số đạt cực đại tại$x = -1$(giá trị $12$) và cực tiểu tại$x = 2$(giá trị $-15$).

d) Đồ thị hàm bậc ba cơ bản

Hàm số bậc ba cơ bản dạng$y = ax^3$có hai dáng đồ thị đặc trưng:

• Nếu$a > 0$, đồ thị đi xuống bên trái và đi lên bên phải (hình chữ S từ dưới lên: "đi lên")
• Nếu$a < 0$, đồ thị đi lên bên trái và đi xuống bên phải (hình chữ S từ trên xuống: "đi xuống")

Khi thêm vào các hệ số $b$,$c$,$d$, đồ thị bị tịnh tiến hoặc biến dạng tùy theo giá trị của các hệ số này.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Một số trường hợp đặc biệt quan trọng:

• Nếu$b = c = 0$, hàm có dạng$y = ax^3 + d$– chỉ tịnh tiến lên/xuống trục$Oy$
• Nếu$a = 1, b = 0, c = 0, d = 0$: Hàm số $y = x^3$, là hàm bậc ba cơ bản nhất, có tâm đối xứng tại gốc tọa độ
• Khi đạo hàm$f'(x)$chỉ có một nghiệm, đồ thị không có cực trị (hàm này đồng biến hoặc nghịch biến trên$ext{R}$)

Lưu ý cách xác định và kiểm tra số nghiệm cực trị, hướng biến thiên và dạng đồ thị.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm bậc ba liên quan chặt chẽ đến các chủ đề sau:

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 🡪 nền tảng để học Giải tích sau này
• Khái niệm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tiệm cận…
• Nghiệm của phương trình bậc ba liên quan tới các chủ đề về đại số, bất phương trình, phương trình
• Tính đối xứng, liên hệ với các hàm bậc nhất, bậc hai

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

Lời giải chi tiết:

• Tập xác định:$ext{R}$
• Tính đạo hàm:$y' = 3x^2 - 6x$
• Đặt$y'=0 \Rightarrow 3x^2 - 6x=0 \Leftrightarrow x=0$hoặc$x=2$
• Tính giá trị tại các điểm$x=0$và $x=2$:
  -$y(0) = 0 - 0 + 2 = 2$
  -$y(2) = 8 - 12 + 2 = -2$
• Bảng biến thiên:
  - Xét dấu$y'$:
  + Với$x < 0$:$y' > 0$⇒ Hàm đồng biến
  +$0 < x < 2$:$y' < 0$⇒ Hàm nghịch biến
  +$x > 2$:$y' > 0$⇒ Hàm đồng biến lại
• Kết luận:
  - Cực đại:$x=0$,$y=2$
  - Cực tiểu:$x=2$,$y=-2$

Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm$f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 1$trên đoạn$[0;2]$.

Lời giải chi tiết:

• Tính đạo hàm:$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12$
  Giải$f'(x)=0$:
  $-6x^2 + 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2; x = -1$
• Các giá trị cần xét:$x=0$,$x=2$(nằm trên đoạn$[0;2]$), bỏ $x=-1$(không thuộc đoạn).
  Tính:
  -$f(0) = -1$
  -$f(2) = -2 \times 8 + 3 \times 4 + 12 \times 2 - 1 = -16 + 12 + 24 - 1 = 19$
• Vậy GTLN là $19$tại$x=2$, GTNN là $-1$tại$x=0$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên điều kiện$a \neq 0$⇒ Hàm không còn là bậc ba
• Tính đạo hàm sai hoặc giải sai phương trình bậc hai khi tìm cực trị
• Chỉ xét nghiệm nằm ngoài miền xác định hoặc đoạn cần xét (nhất là khi tìm GTLN, GTNN trên đoạn)
• Sơ đồ biến thiên, đồ thị vẽ nhầm hướng đi lên/đi xuống hoặc nhầm trục hoành, tung
• Chưa kiểm tra đầy đủ các giá trị tại biên khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm bậc ba có dạng tổng quát:$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$,$a \neq 0$
• Đồ thị hàm bậc ba nhìn chung có dạng hình chữ S, vị trí cực trị tìm được bằng đạo hàm bậc một
• Hiểu bản chất đạo hàm và xét dấu giúp khảo sát mọi bài toán liên quan hàm bậc ba
• Luôn kiểm tra kỹ các giá trị biên khi làm bài toán giá trị lớn-nhỏ nhất trên đoạn
• Cẩn thận với các phép tính đạo hàm, giải phương trình và vẽ đồ thị
• Hàm bậc ba là nền tảng cho nhiều bài toán đại số, giải tích, ứng dụng thực tế và kỳ thi THPT Quốc gia