Hàm bậc ba – Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

Giới thiệu về hàm bậc ba và tầm quan trọng trong Toán 12

Hàm bậc ba (còn gọi là hàm số bậc ba) là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 12. Nắm vững lý thuyết, kĩ năng giải bài tập về hàm bậc ba giúp học sinh tự tin giải quyết nhiều dạng toán quan trọng như khảo sát, vẽ đồ thị, giải phương trình, bất phương trình hoặc ứng dụng thực tiễn. Hàm bậc ba đóng vai trò quan trọng trong phần giải tích, là nền tảng cho các kiến thức giải toán đại học cũng như các kì thi lớn như thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.

Định nghĩa hàm bậc ba

Hàm bậc ba là hàm số có dạng tổng quát:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0)$

Trong đó: $a$ là hệ số bậc ba ( $a \neq 0$ ), $b,\c,\d$ là các hệ số thực.

Phân tích chi tiết với ví dụ minh họa

Hàm bậc ba thường có 3 phần: hệ số bậc ba $a$ (quyết định "hình dạng" đồ thị), hệ số bậc hai $b$, hệ số bậc nhất $c$ và hệ số tự do $d$.

Ví dụ 1: Xét hàm số $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5$.

• Hệ số bậc ba:$a=2$
• Hệ số bậc hai:$b=-3$
• Hệ số bậc nhất:$c=1$
• Hệ số tự do:$d=-5$

Tính giá trị khi$x=0$,$x=1$,$x=-1$:

$f(0) = 2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0 - 5 = -5$

$f(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 1 - 5 = 2-3+1-5 = -5$

$f(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + (-1) - 5 = -2-3-1-5 = -11$

Ta có thể tiếp tục tính các giá trị khác và quan sát đồ thị để hiểu rõ hơn về hành vi của hàm.

Đặc điểm đồ thị hàm bậc ba

Đồ thị hàm số bậc ba là một đường cong liên tục không bị đứt đoạn, thường có dạng như chữ S hoặc nằm ngang xiên.
Đặc điểm:

Tính đạo hàm:

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

Giải$f'(x) = 0$ để tìm cực trị.

Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Lưu ý:

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm bậc ba liên quan chặt chẽ với đạo hàm bậc hai, phương trình bậc ba và các bất phương trình bậc ba.

- Đồng thời, đây chính là bước đệm để học các kiến thức giải tích cao hơn như khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.

Giải:

- Tính đạo hàm:

$y' = 3x^2 - 3$

- Lập bảng biến thiên:
Giải$y' = 0 \rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = 1; x = -1$

Tính$y$tại các điểm này:

$y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$
$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

- Tìm điểm uốn:
Điểm uốn là nghiệm của$y'' = 6x = 0 \rightarrow x = 0$.
$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$
Điểm uốn:$(0;2)$

- Vẽ đồ thị: Vẽ bảng giá trị, xác định các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn) và đồ thị qua các điểm này.

Bài 2. Giải phương trình bậc ba$2x^3 - 3x^2 + x - 5 = 0$.

Giải bằng các phương pháp như thử nghiệm hoặc biến đổi hạ bậc nếu thuận lợi.
Kiểm tra$x=1$:$2-3+1-5=-5 \neq 0$(không phải nghiệm).
Kiểm tra$x=-1$:$-2-3-1-5=-11 \neq 0$(không phải nghiệm).
Có thể sử dụng định lý Hoocner hoặc máy tính casio để tìm nghiệm gần đúng.
Do bậc lẻ, chắc chắn có ít nhất một nghiệm thực.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

Cách tránh:

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Nắm vững lý thuyết và kỹ năng làm bài về hàm bậc ba, học sinh sẽ tự tin xử lý tốt nhiều dạng bài quan trọng trong các kỳ thi cũng như ứng dụng thực tiễn.