1. Giới thiệu về khái niệm hàm bậc ba

Trong chương trình toán học lớp 12, hàm bậc ba là một trong những loại hàm đa thức quan trọng nhất. Các em sẽ gặp hàm bậc ba khi học về tính đơn điệu, cực trị, đồ thị hàm số, cùng nhiều ứng dụng khác trong giải tích và các bài toán thực tiễn. Việc nắm vững hàm bậc ba giúp các em tự tin giải các bài tập về xét tính đồng biến, nghịch biến, cực trị và khảo sát đồ thị hàm số cũng như chuẩn bị tốt cho các kỳ thi lớn như THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác về hàm bậc ba

Hàm bậc ba (hay còn gọi là đa thức bậc ba) là một hàm số có dạng tổng quát như sau:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a \neq 0)$

Ở đó:

-$a, b, c, d$là các hằng số thực

-$a \neq 0$ để đảm bảo hàm số là bậc ba (vì nếu$a = 0$, hàm trở thành bậc thấp hơn)

Hàm số bậc ba có đồ thị là một đường cong, có thể cắt trục hoành tại nhiều điểm (tối đa 3 điểm), và thường được xét trong các bài toán về tính đơn điệu, cực trị, khảo sát đồ thị.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta hãy xét hàm số cụ thể:$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$

a) Đạo hàm và ý nghĩa

Tính đạo hàm cấp 1:

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$

Đạo hàm cấp 1 dùng để xét tính đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số.

b) Tìm điểm cực trị

Giải phương trình$f'(x) = 0$:

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Giải ra:$x = 2$hoặc$x = -1$

Thay vào$f(x)$ để tính giá trị cực trị:

$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$

$f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$

c) Xét tính đồng biến, nghịch biến

Dựa vào dấu của$f'(x)$, ta chia các khoảng:

- Trên$(-\infty, -1)$, chọn$x = -2$:$f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 > 0$(đồng biến)

- Trên$(-1, 2)$, chọn$x = 0$:$f'(0) = -12 < 0$(nghịch biến)

- Trên$(2, +\infty)$, chọn$x = 3$:$f'(3) = 6(9) - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 > 0$(đồng biến)

=> Hàm số đồng biến trên$(-\infty, -1)$và $(2, +\infty)$; nghịch biến trên$(-1, 2)$.

d) Đồ thị hàm bậc ba có hình dạng ra sao?

Đồ thị của hàm bậc ba thường có một điểm uốn và có thể có 2 điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu), giống hình dạng chữ S hoặc hình "làn sóng". Khi$a > 0$, phần đồ thị bên trái đi xuống và bên phải đi lên; khi$a < 0$thì ngược lại.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$b^2 - 3ac = 0$, hàm bậc ba chỉ có một điểm cực trị duy nhất (điểm uốn trùng cực trị).

- Nếu$b^2 - 3ac < 0$, hàm số không có cực trị thực.

- Nếu$a > 0$, hàm số "đi lên" ở hai đầu; nếu$a < 0$, hàm số "đi xuống" ở hai đầu.

- Khi$a, b, c$có các giá trị đặc biệt (ví dụ $b = 0, c = 0$), đồ thị có tính đối xứng.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- So với hàm bậc hai, hàm bậc ba phức tạp hơn vì có thể có hai cực trị. Khi khảo sát hàm số, kỹ năng lấy đạo hàm và giải phương trình bậc hai là thiết yếu.

- Hàm bậc ba là trường hợp đặc biệt của hàm đa thức, có nhiều ứng dụng trong giải tích: tính tích phân, diện tích, bài toán tối ưu hóa.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.

Giải:

+ Đạo hàm$y' = 3x^2 - 3$

+$y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1; x = -1$

+ Xét bảng biến thiên:

- Chọn$x = 0$:$y'(0) = -3 < 0$→ Hàm nghịch biến trên$(-1, 1)$

- Chọn$x = -2$:$y'(-2) = 3(4) - 3 = 9 > 0$→ Hàm đồng biến trên$(-\infty, -1)$

- Chọn$x = 2$:$y'(2) = 12 - 3 = 9 > 0$→ Hàm đồng biến trên$(1, +\infty)$

- Giá trị cực trị:$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$;$y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại$x = -1$, cực tiểu tại$x = 1$. Đồ thị có dạng S nằm nghiêng.

Bài 2: Tìm m để hàm số $y = x^3 + 2mx^2 + 3x$có hai điểm cực trị phân biệt.

Giải: Điều kiện để có hai điểm cực trị là phương trình$y' = 0$có hai nghiệm phân biệt:

$y' = 3x^2 + 4mx + 3 = 0$có hai nghiệm phân biệt$\iff \Delta' = (2m)^2 - 3 \cdot 3 > 0 \iff 4m^2 - 9 > 0 \iff m^2 > \frac{9}{4} \iff m > \frac{3}{2}$hoặc$m < -\frac{3}{2}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên điều kiện$a \neq 0$: Cần đảm bảo hệ số của$x^3$khác 0, nếu không hàm không phải là bậc ba.

- Sai dấu khi lấy đạo hàm hoặc giải phương trình bậc hai.

- Nhầm lẫn giữa điểm cực trị và điểm uốn: Chú ý điểm cực trị là nơi hàm đổi chiều tăng/giảm, còn điểm uốn là nơi đồ thị đổi dạng cong.

- Không kiểm tra kỹ điều kiện để có cực trị phân biệt: Luôn xét biệt thức$riangle$ đủ điều kiện.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm bậc ba có dạng tổng quát$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$với$a \neq 0$.

- Hàm số có thể có hai cực trị, một điểm uốn.

- Các kỹ năng cần nắm: Tìm đạo hàm, giải phương trình bậc hai, xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, tính giá trị cực trị, vẽ bảng biến thiên và đồ thị.

- Chú ý điều kiện về hệ số, dấu của$a$, và bài toán liên quan xét số nghiệm, biện luận.

Khi nắm vững hàm bậc ba, các em sẽ tự tin hơn trong giải toán xét tính đồng biến, cực trị, khảo sát đồ thị và nhiều bài toán nâng cao trong đề thi THPT Quốc gia.