1. Giới thiệu về hàm bậc hai

Hàm bậc hai là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Đây là hàm số có dạng tổng quát$f(x)=ax^2+bx+c$, với$a,b,c$là các hằng số thực và $a \neq 0$. Đồ thị của hàm bậc hai là một Parabol, thường xuất hiện trong nhiều bài toán về tối ưu hóa, hình học giải tích, vật lý chuyển động có gia tốc không đổi, kinh tế học và nhiều lĩnh vực thực tiễn khác. Việc nắm vững hàm bậc hai giúp học sinh giải quyết các bài toán về phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai, khảo sát sự biến thiên, xác định giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số cũng như ứng dụng vào các bài toán thực tế.

2. Định nghĩa hàm bậc hai

Hàm số bậc hai (hay hàm Parabol) được định nghĩa như sau:

Một hàm số $f$trên tập số thực được gọi là hàm bậc hai nếu có dạng:

$f(x)=ax^2+bx+c$

trong đó $a,b,c$là các hằng số với điều kiện$a \neq 0$. Trong đó:

-$a$gọi là hệ số bậc hai (hệ số của$x^2$).

-$b$gọi là hệ số bậc nhất (hệ số của$x$).

-$c$gọi là hệ số tự do (hằng số).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1. Cấu trúc cơ bản của hàm bậc hai

Hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$có ba tham số chính:

- Hệ số $a$quyết định hướng mở của Parabol:

+ Nếu$a>0$, Parabol mở lên trên (đồ thị có dạng chữ "U").

+ Nếu$a<0$, Parabol mở xuống dưới (đồ thị có dạng chữ "∩").

- Hệ số $b$ ảnh hưởng đến tọa độ đỉnh và trục đối xứng của Parabol.

- Hệ số $c$là giá trị $y$khi$x=0$, tức giao điểm với trục$Oy$.

3.2. Đồ thị của hàm bậc hai

Đồ thị của hàm$f(x)=ax^2+bx+c$là một Parabol. Các yếu tố quan trọng trên đồ thị gồm:

- Đỉnh Parabol (vertex) có tọa độ:

$x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=f(x_0)=a\Bigl(-\frac{b}{2a}\Bigr)^2+b\Bigl(-\frac{b}{2a}\Bigr)+c.$

- Trục đối xứng (axis of symmetry):

$x= -\frac{b}{2a}.$

- Giao điểm với trục hoành (nếu có) xác định từ phương trình$ax^2+bx+c=0$.

3.3. Ví dụ minh họa

Cho hàm số $f(x)=2x^2-4x+1$. Hãy xác định hướng mở, đỉnh, trục đối xứng và giao điểm với trục hoành.

Bước 1: Xác định hệ số $a=2>0$, nên Parabol mở lên trên.

Bước 2: Tính tọa độ đỉnh:

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2 \cdot 2}=1,\qquad y_0=f(1)=2 \cdot 1^2-4 \cdot 1+1=-1.$

Vậy đỉnh Parabol là $(1,-1)$.

Bước 3: Trục đối xứng:$x=1$.

Bước 4: Tìm giao điểm với trục hoành, giải$2x^2-4x+1=0$.

Tính

. Có hai nghiệm:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4 \pm 2\sqrt2}{4}=1 \pm \frac{\sqrt2}{2}.$

Vậy Parabol cắt trục hoành tại hai điểm $\bigl(1+\tfrac{\sqrt2}{2},0\bigr)$và $\bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2},0\bigr)$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$\Delta>0$, phương trình$ax^2+bx+c=0$có hai nghiệm phân biệt, Parabol cắt trục hoành tại hai điểm.

- Nếu$\Delta=0$, phương trình có nghiệm kép$x_0=-\frac{b}{2a}$, Parabol tiếp xúc trục hoành tại đỉnh.

- Nếu$\Delta<0$, phương trình vô nghiệm thực, Parabol không cắt trục hoành.

Lưu ý: Luôn kiểm tra điều kiện$a \neq 0$trước khi áp dụng các công thức của hàm bậc hai.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm bậc hai liên quan mật thiết với nhiều nội dung khác:

- Phương trình và bất phương trình bậc hai.

- Ứng dụng đạo hàm trong khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị (hình học giải tích nâng cao).

- Tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục hoành.

- Ứng dụng trong vật lý: chuyển động thẳng biến đổi đều, quỹ đạo của vật (ném xiên).

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho hàm số $f(x)=-3x^2+6x-2$. Xác định hướng mở, đỉnh, trục đối xứng và giao điểm với các trục tọa độ.

Lời giải:

- Hướng mở:$a=-3<0$, Parabol mở xuống dưới.

- Đỉnh:$x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{6}{-6}=1$,$y_0=f(1)=-3+6-2=1$. Đỉnh$(1,1)$.

- Trục đối xứng:$x=1$.

- Giao với trục Oy:$f(0)=-2 \Rightarrow (0,-2)$.

- Giao với trục Ox: giải $-3x^2+6x-2=0$, $\Delta=36-24=12$, nghiệm $x=\frac{-6 \pm 2\sqrt3}{-6}=1 \mp \frac{\sqrt3}{3}$.

Vậy giao với Ox tại $\bigl(1+\tfrac{\sqrt3}{3},0\bigr)$và $\bigl(1-\tfrac{\sqrt3}{3},0\bigr)$.

Bài tập 2. Giải bất phương trình$x^2-5x+6\le0$.

Lời giải:$\Delta=25-24=1$, nghiệm$x=2,3$. Bất phương trình có nghiệm khi$x \in [2,3]$.

Bài tập 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^2-4x+5$.

Lời giải: Đỉnh tại$x_0=2$,$y_0=f(2)=4-8+5=1$. Giá trị nhỏ nhất là $1$tại$x=2$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên kiểm tra$a \neq 0$, dẫn đến nhầm lẫn với hàm bậc nhất.

- Sai dấu khi tính$\Delta=b^2-4ac$hoặc khi áp dụng công thức nghiệm.

- Nhầm lẫn giữa nghiệm của phương trình và giao điểm với trục hoành.

- Không ghi đầy đủ điều kiện nghiệm (khi bất phương trình bậc hai).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm bậc hai có dạng$f(x)=ax^2+bx+c$,$a \neq 0$.

- Đồ thị là Parabol, đỉnh tại$\bigl(-\tfrac{b}{2a},f(-\tfrac{b}{2a})\bigr)$.

- Trục đối xứng:$x=-\tfrac{b}{2a}$; hướng mở theo dấu$a$.

- Discriminant$\Delta=b^2-4ac$xác định số nghiệm và giao điểm với trục hoành.

- Áp dụng vào giải phương trình, bất phương trình, tối ưu hóa và các ứng dụng thực tế.