Hàm bậc hai – Giải thích chi tiết {primary_keyword} cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu

Hàm bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán lớp 12 và thuộc chuyên đề đại số. Hiểu rõ hàm bậc hai giúp các em giải phương trình, vẽ đồ thị, nghiên cứu cực trị và là nền tảng cho giải tích sau này. Từ ôn thi THPT Quốc gia đến đại học, hàm bậc hai luôn xuất hiện dưới nhiều dạng bài tập.

2. Định nghĩa

Cho số thực$a,b,c$với$a \neq 0$. Hàm số bậc hai có dạng tổng quát:

$f(x)=ax^2+bx+c,$

trong đó:

-$a$là hệ số bậc hai (định hướng mở lên hoặc mở xuống của parabol).

-$b$là hệ số bậc một (quyết định vị trí trục đối xứng).

-$c$là hệ số tự do (giao điểm với trục$Oy$).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1. Dạng tổng quát và ý nghĩa hệ số

Cho ví dụ cụ thể:

$f(x)=2x^2-3x+1.$

- Hệ số $a=2>0$⇒ parabol mở lên.

- Hệ số $b=-3$⇒ trục đối xứng sẽ nằm tại$x=-\tfrac{b}{2a}=\tfrac{3}{4}$.

- Hệ số $c=1$⇒ đồ thị cắt trục$Oy$tại điểm$(0,1)$.

3.2. Đồ thị parabol và đỉnh

Đồ thị hàm bậc hai là parabol. Đỉnh$I$của parabol có tọa độ:

$I\left(-\frac{b}{2a},\;f\bigl(-\tfrac{b}{2a}\bigr)\right).$

Với ví dụ $f(x)=2x^2-3x+1$, ta có:

- Hoành độ đỉnh:$x_I=\tfrac{3}{4}$.

- Tung độ đỉnh:$y_I=f\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)=2\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2-3\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)+1=-\tfrac{1}{8}.$

⇒ Đỉnh$I\bigl(\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{8}\bigr)$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

4.1. Biểu diễn nghiệm số bằng biệt thức

$\Delta=b^2-4ac.$

- Nếu $\Delta>0$, hàm số có hai nghiệm phân biệt: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$

- Nếu$\Delta=0$, hàm số có nghiệm kép:$x_0=-\frac{b}{2a}.$

- Nếu$\Delta<0$, hàm số vô nghiệm thực (có hai nghiệm phức).

4.2. Lưu ý khi vẽ đồ thị:

- Xác định đúng đỉnh và trục đối xứng.

- Xác định đúng giao điểm với trục tung ($x=0$) và có thể thêm giao với trục hoành.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Giải phương trình bậc hai và bất phương trình bậc hai.

- Ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị (trong giải tích).

- Tích phân tính diện tích dưới parabol.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $f(x)=-x^2+4x-3.$

a) Tìm đỉnh parabol.

b) Xác định số nghiệm thực của phương trình$f(x)=0$.

Lời giải:

a)$a=-1,b=4 \Rightarrow x_I=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{4}{-2}=2$.

$y_I=f(2)=-4+8-3=1$. ⇒ Đỉnh$I(2,1)$.

b) Tính$\Delta=4^2-4(-1)(-3)=16-12=4>0$.

⇒ hai nghiệm:$x_{1,2}=\frac{-4 \pm 2}{-2}=\{1,3\}$.

Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số $g(x)=x^2-2x-3$và xác định giao điểm với trục hoành.

Lời giải:

- Đỉnh:$x_I=\tfrac{2}{2}=1,\;y_I=g(1)=1-2-3=-4$.

-$\Delta=(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16>0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{2 \pm 4}{2}=\{-1,3\}$.

- Vẽ parabol mở lên, qua đỉnh$(1,-4)$và hai điểm cắt trục hoành$(-1,0),(3,0)$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn dấu của$b$khi tính$-\tfrac{b}{2a}$.

- Quên điều kiện$a \neq 0$.

- Sai dấu trong tính$\Delta=b^2-4ac$.

- Vẽ đồ thị không đối xứng qua trục$x=-\tfrac{b}{2a}$.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm bậc hai:$f(x)=ax^2+bx+c,\;a \neq 0$.

- Đỉnh:$I\bigl(-\tfrac{b}{2a},\;f(-\tfrac{b}{2a})\bigr)$.

- Biệt thức$\Delta=b^2-4ac$quyết định nghiệm.

- Đồ thị là parabol, mở lên nếu$a>0$, mở xuống nếu$a<0$.

- Ứng dụng: giải phương trình, tìm cực trị, tích phân.