Blog

Lớp 12

Hàm bậc hai: Khái niệm, ví dụ minh họa và phương pháp giải cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về hàm bậc hai và tầm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12

Hàm bậc hai là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12 nói riêng và chương trình Toán THPT nói chung. Đây là nền tảng cho chương trình hàm số và giải tích sau này, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về đồ thị, cực trị và ứng dụng trong thực tiễn. Nắm vững khái niệm và các phương pháp giải quyết hàm bậc hai giúp học sinh tự tin trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi THPT Quốc gia và các ứng dụng thực tế.

2. Định nghĩa chính xác về hàm bậc hai

Hàm bậc hai là hàm số có dạng tổng quát:

Trong đó:

  • aa,bb,cclà các hằng số đã cho (vớia≠0a \neq 0)
  • xxlà biến số

    • 3. Minh họa cách xác định và giải thích từng phần của hàm bậc hai bằng ví dụ

    Ví dụ 1: Cho hàm số y=2x2−4x+1y = 2x^2 - 4x + 1. Ta có:

    • a=2a = 2;b=−4b = -4;c=1c = 1

    Ý nghĩa từng hệ số:

  • -aa: Quyết định hướng mở của đồ thị (nếua>0a > 0 đồ thị mở lên,a<0a < 0 đồ thị mở xuống)
  • -bb: Ảnh hưởng đến vị trí trục đối xứng
  • -cc: Là giá trị tại điểm cắt trục tung (y=cy = ckhix=0x = 0)

    • Xét đồ thị hàm số bậc hai, ta chú ý các yếu tố sau:

  • Trục đối xứng:x=−b2ax = -\frac{b}{2a}
  • Đỉnh (cực trị) của đồ thị:yđỉnh=−Δ4ay_{đỉnh} = -\frac{\Delta}{4a}vớiΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
  • Vị trí cắt trục tung:y=cy = c(khix=0x = 0)

    • Ví dụ minh họa:

    Tìm trục đối xứng và đỉnh của hàm số y=2x2−4x+1y = 2x^2 - 4x + 1

    Vậy đỉnh là A(1;−1)A(1; -1), trục đối xứng là x=1x = 1.

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng hàm bậc hai

  • - Nếub=0b = 0, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
  • - Nếuc=0c = 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ.
  • - Nếua>0a > 0: Đồ thị "hướng lên" (hình "chén úp")
  • - Nếua<0a < 0: Đồ thị "hướng xuống" (hình "chén ngửa")

    • Lưu ý: Hàm bậc hai luôn liên tục và xác định trên∀x∈R\forall x \in \mathbb{R}.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Hàm bậc hai là trường hợp đặc biệt của hàm đa thức. Các kiến thức liên quan:

  • - Liên hệ với đạo hàm: Đạo hàm cấp 1 của hàm bậc hai là một hàm bậc nhất:y′=2ax+by' = 2ax + b.
  • - Liên hệ với cực trị: Xét tính đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị nhờ đạo hàm.
    • Hình minh họa: Đồ thị bốn hàm số y = x², y = x² + 2, y = -x² và y = -x² + 2 với b = 0, thể hiện trục đối xứng x = 0, điểm gốc tọa độ khi c = 0, đồng thời minh họa a > 0 (chén úp) và a < 0 (chén ngửa).
    Đồ thị bốn hàm số y = x², y = x² + 2, y = -x² và y = -x² + 2 với b = 0, thể hiện trục đối xứng x = 0, điểm gốc tọa độ khi c = 0, đồng thời minh họa a > 0 (chén úp) và a < 0 (chén ngửa).
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = x^2 - 4x + 3 với trục đối xứng x = 2, đỉnh tại (2, -1) và giao điểm với trục tung tại (0, 3)
    Đồ thị hàm số y = x^2 - 4x + 3 với trục đối xứng x = 2, đỉnh tại (2, -1) và giao điểm với trục tung tại (0, 3)
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = 2x² - 4x + 1, minh họa trục đối xứng x = 1 và đánh dấu đỉnh (1, -1)
    Đồ thị hàm số y = 2x² - 4x + 1, minh họa trục đối xứng x = 1 và đánh dấu đỉnh (1, -1)
  • - Ứng dụng trong giải phương trình bậc haiax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

    • 6. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài 1: Cho hàm số y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3. Hãy xác định đỉnh, trục đối xứng và hướng mở của đồ thị.

    Giải:

  • -a=−1<0a = -1 < 0, đồ thị mở xuống.
  • - Trục đối xứng:x0=−b2a=−22×(−1)=1x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1.
  • - Đỉnh:y0=−12+2×1+3=−1+2+3=4y_0 = -1^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.

    • Vậy đỉnh là A(1;4)A(1; 4), trục đối xứngx=1x = 1, đồ thị mở xuống.

    Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7.

    Giải:

  • -a=1>0a = 1 > 0, đồ thị mở lên, nên đỉnh là điểm thấp nhất.
  • -x0=−b2a=−−42×1=2x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2
  • -y0=(2)2−4×2+7=4−8+7=3y_0 = (2)^2 - 4 \times 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3

    • Giá trị nhỏ nhất là 33tạix=2x = 2.

    7. Một số lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Nhầm lẫn hướng mở của đồ thị khi xác định dấuaa.
  • - Sai dấu khi tính−b2a-\frac{b}{2a}.
  • - Xét không đầy đủ các vị trí cắt trục hoành hoặc trục tung.
  • - Quên kiểm tra điều kiện xác định hàm số (dù hàm bậc hai xác định mọixx).

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

    • Hàm bậc hai có dạngy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c(a≠0a \neq 0).
    • Đồ thị là một Parabol, có trục đối xứngx=−b2ax = -\frac{b}{2a}, đỉnh Parabol ở (−b2a,  −Δ4a)\left(-\frac{b}{2a}, \; -\frac{\Delta}{4a}\right).
    • Dựa vào dấu củaaa để xác định chiều mở của đồ thị.
    • Ứng dụng nhiều trong việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, xét tính đơn điệu và cực trị.
    • Chú ý các thao tác tính toán khi tìm đỉnh, trục đối xứng và các điểm đặc biệt.

    Với bài viết này, hy vọng học sinh lớp 12 sẽ hiểu sâu hơn về khái niệm hàm bậc hai, tự tin áp dụng vào các bài tập và nắm vững các kiến thức cần thiết trong hành trang thi cử cũng như ứng dụng tiếp theo.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".