Hàm căn thức: y = \sqrt{ax + b} – Khái niệm, tính chất và ứng dụng cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu chung về hàm căn thức

Trong chương trình Toán lớp 12, hàm căn thức xuất hiện như một nội dung cơ bản trong phần hàm số và giải tích. Đặc biệt, hàm số $y = \sqrt{ax + b}$ là một ví dụ điển hình cho dạng hàm số chứa căn bậc hai với biến số nằm trong biểu thức dưới dấu căn. Việc hiểu rõ hàm căn thức không chỉ giúp học sinh giải các bài toán về miền xác định, tính đơn điệu, cực trị mà còn thuận tiện cho việc khảo sát, vẽ đồ thị và vận dụng trong các kì thi quan trọng như thi tốt nghiệp THPT quốc gia và xét tuyển đại học.

2. Định nghĩa và điều kiện xác định của hàm căn thức

Hàm căn thức là hàm số có dạng $y = \sqrt{ax + b}$, trong đó $a, b$là các hằng số và $x$ là biến số thực. Để hàm số này xác định trên tập số thực, biểu thức dưới dấu căn phải không âm, tức là:

Tập xác định của hàm số là tập các giá trị $x$thỏa mãn điều kiện này. Đây là bước quan trọng đầu tiên khi làm việc với hàm căn thức.

3. Khảo sát hàm căn thức qua từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta cùng đi tìm hiểu các bước cơ bản khi nghiên cứu hàm căn thức $y = \sqrt{ax + b}$ thông qua ví dụ cụ thể.

Bước 1: Xác định miền xác định

Ví dụ: Cho $y = \sqrt{2x - 4}$. Ta có điều kiện xác định:

Vậy tập xác định của hàm số là $D = [2; +\infty)$.

Bước 2: Tính đạo hàm và xét tính đơn điệu

Có thể dùng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu của hàm. Đạo hàm của $y = \sqrt{ax + b}$ là:

• Nếu $a > 0$, $y' > 0$trên miền xác định $\Rightarrow$ hàm số đồng biến.
• Nếu$a < 0$, $y' < 0$trên miền xác định $\Rightarrow$ hàm số nghịch biến.
• Nếu$a = 0$, $y = \sqrt{b}$ là hằng số.

Bước 3: Vẽ đồ thị và một số tính chất

Đồ thị của hàm số $y = \sqrt{ax + b}$là một nhánh của parabol nằm về phía trên trục hoành (khi$y \geq 0$). Đồ thị chỉ xuất hiện ở miền xác định đã tìm ở trên.

Ví dụ tiếp tục: Đồ thị của $y = \sqrt{2x - 4}$bắt đầu từ điểm$x = 2$, $y = 0$và đi lên phía trên, chỉ có ở phía$x \geq 2$.

4. Một số trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu $a = 0$, hàm số trở thành $y = \sqrt{b}$là một hằng số (nếu$b \geq 0$).
• Nếu $a < 0$, miền xác định là $x \leq -\frac{b}{a}$.
• Nếu $b = 0$, hàm số là $y = \sqrt{ax}$, xác định với $ax \geq 0$.

Lưu ý: Không được lấy căn của số âm với các giá trị $x$không thỏa điều kiện xác định.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm căn thức $y = \sqrt{ax + b}$ liên quan nhiều đến các bài toán về bất phương trình bậc nhất, ứng dụng trong khảo sát hàm số, tìm cực trị, và là tiền đề cho các bài toán tích phân chứa căn thức:

6. Một số bài tập mẫu có lời giải

Bài tập mẫu 1

Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{3x-6}$.

Giải:
Điều kiện:$3x-6 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$
Vậy tập xác định là $[2; +\infty)$.

Bài tập mẫu 2

Khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \sqrt{-2x + 8}$.

Giải:
Điều kiện: $-2x+8 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 4$.
Đạo hàm: $y' = \frac{-2}{2\sqrt{-2x+8}} = \frac{-1}{\sqrt{-2x+8}} < 0, \forall x < 4$.
Vậy hàm số nghịch biến trên miền xác định.

Bài tập mẫu 3

Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{5x - 10}$trên đoạn$[2,6]$.

Giải:
Điều kiện xác định trên $[2,6]$:
$5x - 10 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$
Kiểm tra tại các điểm:
$x = 2$: $y = \sqrt{5 \cdot 2 - 10} = 0$
$x = 6$: $y = \sqrt{5 \cdot 6 - 10} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Vì $a=5 > 0$⇒ hàm số đồng biến trên$[2,6]$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $0$tại$x=2$, lớn nhất là $2\sqrt{5}$tại$x=6$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Để tránh lỗi, luôn thực hiện các bước: kiểm tra điều kiện xác định trước, tính đạo hàm thật cẩn thận và chỉ xét hàm trên miền xác định.

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

Việc nắm vững hàm căn thức giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị và xử lý các bài toán thực tế trong các kì thi quan trọng.