Hàm căn thức: y = \sqrt{ax + b} – Khái niệm, Ý Nghĩa & Các Bài Tập Mẫu Lớp 12

1. Giới thiệu chung về hàm căn thức $y = \sqrt{ax + b}$

Hàm căn thức là một dạng hàm số đặc biệt, xuất hiện rất nhiều trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt ở phần khảo sát hàm số, xét tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và cả trong ứng dụng thực tế. Việc hiểu rõ bản chất, cách viết, cách tìm tập xác định và xét tính chất của hàm $y = \sqrt{ax + b}$ sẽ giúp học sinh dễ dàng giải quyết các dạng toán liên quan cũng như phát triển tư duy nền tảng cho các kiến thức cao hơn.

2. Định nghĩa hàm căn thức $y = \sqrt{ax + b}$

Hàm số dạng $y = \sqrt{ax + b}$là một hàm căn bậc hai một biến. Trong đó $a, b$là các hằng số. Giá trị của hàm được xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là $ax + b \geq 0$. Đây cũng chính là điều kiện để xác định tập xác định của hàm số.

3. Hướng dẫn xét tập xác định và vẽ đồ thị hàm $y = \sqrt{ax + b}$ – Ví dụ minh họa

Bước 1 – Tìm tập xác định:
Biểu thức$ax + b$phải không âm cho mọi giá trị $x$thuộc tập xác định của hàm. Do đó:

• Nếu$a > 0$: Tập xác định là $x \geq -\frac{b}{a}$
• Nếu$a < 0$: Tập xác định là $x \leq -\frac{b}{a}$
• Nếu $a = 0$: Hàm số thành $y = \sqrt{b}$– xác định khi$b \geq 0$(là hàm hằng nếu$b > 0$hoặc không xác định nếu$b < 0$)

Ví dụ 1: Cho hàm $y = \sqrt{2x - 4}$. Hãy xác định tập xác định và vẽ đồ thị.

- Tập xác định:$2x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow 2x \geq 4 \Leftrightarrow x \geq 2$.
- Đồ thị: Xuất phát từ điểm$x = 2$trên trục$x$.

Chú ý: Để vẽ đồ thị, chỉ cần lấy một vài giá trị đặc trưng trong tập xác định và tính$y$tương ứng, sau đó nối các điểm lại mượt mà.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý quan trọng khi làm bài

• Nếu $a = 0$: Hàm trở thành $y = \sqrt{b}$, là hàm hằng số khi $b \geq 0$; không xác định nếu $b < 0$.
• Điểm$x_0 = -\frac{b}{a}$là điểm biên của tập xác định (nếu$a \ne 0$). Giá trị hàm tại đây là $y = 0$.
• Đồ thị chỉ nằm ở một phía trục$x$tùy dấu của$a$.
• Hàm số luôn không âm:$y \geq 0$với mọi$x$trong tập xác định.

5. Liên hệ hàm căn thức với các khái niệm toán học khác

Hàm căn thức liên quan mật thiết tới các hàm số bậc nhất, bậc hai khi xét bài toán chứa căn, các bài toán bất phương trình, phương trình chứa căn, hàm hợp, hàm ngược, và tư tưởng tìm tập xác định cho các bài toán phức tạp hơn trong đại số, giải tích.

Khi khảo sát tính đơn điệu, cực trị của hàm căn, chúng ta thường sử dụng đạo hàm cấp 1 kết hợp quy tắc đạo hàm hàm hợp:

Nếu $y = \sqrt{f(x)}$thì $y' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$, với điều kiện $f(x) > 0$.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

- Bài tập 1: Tìm tập xác định của hàm $y = \sqrt{-3x + 6}$.

$2x - 4 \ge 0$ với tập nghiệm $x \ge 2$ trên trục số, thể hiện đoạn được tô đậm từ 2 đến vô cùng và điểm đóng tại x = 2" title="Hình minh họa: Đồ thị giải bất phương trình $2x - 4 \ge 0$ với tập nghiệm $x \ge 2$ trên trục số, thể hiện đoạn được tô đậm từ 2 đến vô cùng và điểm đóng tại x = 2" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Giải:
Điều kiện:$-3x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow -3x \geq -6 \Leftrightarrow x \leq 2$.
Vậy tập xác định:$x \leq 2$.

- Bài tập 2: Cho $y = \sqrt{4 - x}$. Tính giá trị hàm tại $x = 0$và $x = 3$.

Giải:
- Tại $x = 0$: $y = \sqrt{4 - 0} = \sqrt{4} = 2$
- Tại $x = 3$: $y = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.

- Bài tập 3: Với $y = \sqrt{2x + 8}$, hãy khảo sát tính đồng biến, nghịch biến.

Tập xác định: $2x + 8 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -4$
Tính đạo hàm:
$y' = \frac{2}{2\sqrt{2x + 8}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 8}}$
Với $x > -4$, $y' > 0$, nên hàm số đồng biến trên $(-4, +\infty)$.

- Bài tập 4: Xác định điểm cắt trục hoành và trục tung của hàm $y=\sqrt{3x-9}$.

Điểm cắt trục hoành: $y=0 \Rightarrow 3x-9=0 \Rightarrow x=3$
Điểm cắt trục tung: $x=0$, $y=\sqrt{-9}$ (không xác định). Vậy đồ thị không cắt trục tung.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh khi học hàm căn thức

• Quên điều kiện xác định ($ax+b \geq 0$) dẫn đến tính toán ngoài tập xác định.
• Lấy nhầm dấu khi chuyển vế bất phương trình hoặc không chú ý đến chia cả hai vế cho số âm.
• Quên kiểm tra giá trị đặc biệt$a=0$.
• Tự ý lấy căn bậc hai số âm hoặc giải bài toán ngoài tập xác định.

8. Tóm tắt – Các điểm chính cần nhớ về hàm căn thức $y = \sqrt{ax + b}$

• Hàm xác định khi$ax + b \geq 0$.
• Biết cách xét tập xác định và vẽ đồ thị cơ bản (đặc biệt nhận biết điểm$x_0 = -\frac{b}{a}$).
• Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp cho khảo sát tính đơn điệu, cực trị.
• Luôn chú ý kiểm tra điều kiện xác định khi giải phương trình, bất phương trình chứa căn.