Hàm căn thức: y = \sqrt{ax + b} – Khái niệm, tính chất và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm căn thức: Tầm quan trọng trong Toán lớp 12

Hàm căn thức với dạng tổng quát $y = \sqrt{ax + b}$ là một trong những hàm số thường gặp trong chương trình Toán lớp 12. Kiến thức về hàm căn thức rất quan trọng, không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về tính chất của hàm số, mà còn cung cấp nền tảng giải các bài toán về miền xác định, xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến), cực trị, giới hạn và ứng dụng trong thực tiễn đời sống, vật lý, hoá học.

2. Định nghĩa hàm căn thức $y = \sqrt{ax + b}$

Hàm căn thức là hàm số dưới dạng $y = \sqrt{ax + b}$với$a$, $b$là các hằng số thực,$a \neq 0$. Đối với hàm căn bậc hai, biểu thức dưới dấu căn phải không âm để hàm số có giá trị thực:

Miền xác định của hàm số là tập hợp các giá trị $x$thỏa mãn bất phương trình trên.

3. Phân tích từng bước với ví dụ minh họa

a) Xác định miền xác định

Ví dụ: Xét hàm số $y = \sqrt{2x - 4}$.

Điều kiện xác định:$2x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$.

Vậy miền xác định:$D = \left[2, +\infty \right)$.

b) Xét tính đồng biến, nghịch biến (tính đơn điệu) nhờ đạo hàm

Lấy đạo hàm: $y = \sqrt{ax + b} \Rightarrow y' = \dfrac{a}{2\sqrt{ax + b}}$.

Dấu của$y'$phụ thuộc vào$a$:

• Nếu$a > 0$:$y' > 0$trên miền xác định, hàm số đồng biến.
• Nếu$a < 0$:$y' < 0$, hàm số nghịch biến.

Ví dụ: Với $y = \sqrt{2x-4}$, $a = 2 > 0$, hàm số đồng biến trên $[2, +\infty)$.

c) Đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm $y = \sqrt{ax + b}$là một nửa Parabol nằm phía trên trục hoành, có đỉnh tại$x_0 = -\dfrac{b}{a}$, $y_0 = 0$.

Tập xác định là một nửa khoảng:$\left[ -\dfrac{b}{a}, +\infty \right)$(nếu$a > 0$) hoặc\left( -\infty, -\dfrac{b}{a} \right]$(nếu$a < 0$)$.

Ví dụ: Đồ thị $y = \sqrt{2x-4}$có đỉnh tại$(2, 0)$ và kéo dài về phía phải.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng hàm căn thức

• Nếu $a = 0$: $y = \sqrt{b}$(hàm hằng nếu$b \geq 0$; và không xác định nếu $b < 0$).
• Nếu $b = 0$: $y = \sqrt{ax}$- điều kiện xác định:$ax \geq 0$.
• Chỉ cần biểu thức dưới căn không âm, tuyệt đối không được quên điều kiện xác định.
• Khi giải phương trình, bất phương trình liên quan đến căn thức, cần lưu ý loại nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác định.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm căn thức là trường hợp riêng của hàm hợp, kết hợp giữa hàm bậc nhất và hàm căn bậc hai.
- Có liên quan trực tiếp đến khái niệm miền xác định, đơn điệu, cực trị, giới hạn (khi $x \to \pm \infty$hay$x \to -\frac{b}{a}^+$/$-$). Cũng là nền tảng để giải phương trình, bất phương trình chứa căn.
- Đồ thị hàm căn thức thường liên quan đến dịch chuyển, co giãn trục so với đồ thị $y = \sqrt{x}$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm miền xác định của hàm số $y = \sqrt{3 - 2x}$.

Bài tập 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \sqrt{-x + 5}$.

Bài tập 3: Cho hàm số $y = \sqrt{4x + 1}$. Tìm đỉnh của đồ thị hàm số.

Bài tập 4: Vẽ đồ thị hàm số $y = \sqrt{2x-2}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên điều kiện xác định$ax + b \geq 0$, dẫn đến chọn nghiệm hoặc miền xác định sai.
• Đạo hàm thiếu căn bậc hai ở mẫu (viết sai $y' = \dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$).
• Nhầm lẫn giữa đồng biến, nghịch biến do xét sai dấu của hệ số $a$.
• Quên loại nghiệm không thỏa mãn miền xác định khi giải phương trình, bất phương trình.

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ về hàm căn thức $y = \sqrt{ax + b}$

• Hàm căn thức xác định khi$ax + b \geq 0$.
• Đồ thị là nửa Parabol hướng lên, bắt đầu từ đỉnh$(-\frac{b}{a}, 0)$.
• Tính đơn điệu phụ thuộc vào dấu$a$:$a > 0$thì đồng biến,$a < 0$thì nghịch biến.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định khi giải phương trình, bất phương trình chứa hàm căn thức.
• Luyện tập nhiều bài tập với các giá trị $a, b$khác nhau để thành thạo dạng toán này.