Hàm hữu tỉ lớp 12: Định nghĩa, Ví dụ và Bài tập

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, hàm hữu tỉ là một chủ đề quan trọng không chỉ trong phần Đại số mà còn gắn liền với Giải tích cơ bản. Hàm hữu tỉ xuất hiện trong nhiều bài toán khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị, giải phương trình và bất phương trình. Đồng thời, kỹ năng xử lý hàm hữu tỉ là nền tảng cho việc nghiên cứu các khái niệm cao hơn như tiệm cận, giới hạn, tích phân và phân tích dữ liệu thực tiễn.

Việc nắm vững hàm hữu tỉ giúp học sinh rèn luyện tư duy phân tích, tổng hợp và khả năng vận dụng kiến thức Đại số vào các tình huống thực tế như mô hình hóa tỉ lệ, tối ưu hóa, dự báo xu hướng... Đây cũng là tiền đề để giải quyết các dạng bài tập ôn thi THPT Quốc gia và Đại học.

2. Định nghĩa chính xác của hàm hữu tỉ

Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm hữu tỉ nếu nó có dạng phân thức của hai đa thức $g(x)$ và $h(x)$:

Tập xác định của hàm hữu tỉ là tất cả các giá trị thực của $x$ sao cho $h(x)<br> \neq 0$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Khi làm việc với hàm hữu tỉ, ta thường thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Xác định đa thức tử số $g(x)$ và mẫu số $h(x)$.

- Bước 2: Tìm tập xác định của hàm, giải bất phương trình $h(x)<br> \neq 0$.

- Bước 3: Rút gọn nếu có nhân tử chung giữa $g(x)$ và $h(x)$ (xác định điểm loại bỏ).

- Bước 4: Xác định tiệm cận đứng (nếu mẫu số bằng 0) và tiệm cận ngang hoặc xiên (dựa vào bậc của đa thức).

- Bước 5: Khảo sát dấu của hàm trên từng khoảng và vẽ đồ thị.

Ví dụ minh họa

Xét hàm số$f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$.

Bước 1: $g(x)=2x+1$,$h(x)=x-3$.

Bước 2: Tập xác định: $x<br> \neq 3$.

Bước 3: Không có nhân tử chung, hàm không rút gọn được.

Bước 4: Tiệm cận đứng: $x=3$.

Do bậc tử số và mẫu số đều bằng 1, tiệm cận ngang là giới hạn khi $x\to \pm \infty$:

$\lim_{x\to \pm \infty} \frac{2x+1}{x-3} = 2,$ nên tiệm cận ngang là $y=2$.

Bước 5: Khảo sát dấu:

- Cho $x<3$: dấu của mẫu số âm, tử số $2x+1$ khi $x< -\tfrac12$ sẽ âm, khi $-\tfrac12<x<3$ sẽ dương.

- Cho $x>3$: mẫu số dương, tử số dương.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Trong quá trình làm việc với hàm hữu tỉ, cần lưu ý các trường hợp sau:

- Hàm có lỗ loại bỏ (removable discontinuity) khi cả tử và mẫu cùng chia hết cho một nhân tử.

- Khi bậc của $g(x)$ lớn hơn bậc của $h(x)$ hơn một đơn vị, xuất hiện tiệm cận xiên (sử dụng phép chia đa thức để tìm phương trình xiên).

- Nếu bậc của $g(x)$ cao hơn nhiều hơn một đơn vị so với $h(x)$ thì đồ thị đi rất nhanh ra xa và không có tiệm cận xiên đơn giản.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm hữu tỉ liên kết chặt chẽ với nhiều nội dung khác trong Toán lớp 12 và cấp cao hơn:

- Giới hạn và tiệm cận (Giải tích 12).

- Đạo hàm và khảo sát sự biến thiên (Ứng dụng biến thiên hàm số hữu tỉ).

- Phân tích thành phân thức đơn (phân tích thành phần tử sơ cấp) trong tích phân và giải tích phức.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Cho hàm số $f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$. Tìm tập xác định, tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Lời giải:

Tập xác định: $x<br> \neq -1$. Tiệm cận đứng: mẫu số bằng 0 khi $x=-1$. Tiệm cận ngang: do bậc tử số và mẫu số đều bằng 1,$\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{3x-2}{x+1}=3,$ nên tiệm cận ngang là $y=3$.

Bài tập 2

Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$. Khảo sát hàm và xác định lỗ loại bỏ (nếu có).

Lời giải:

Ta có $x^2-4=(x-2)(x+2)$, nên $f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\ (x<br>eq2)$, lỗ loại bỏ tại $x=2$ với giá trị bù là $f(2)=4$, tiệm cận xiên: do bậc tử số = bậc mẫu +1, đường thẳng xiên là hàm số $y=x+2$.

Bài tập 3

Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+2}{x-1}$. Tìm $a$ để hàm có tiệm cận ngang $y=3$.

Lời giải:

Tiệm cận ngang: $\lim_{x\to \pm \infty}\frac{ax+2}{x-1}=a, nên $a=3$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên xác định đúng tập xác định, dẫn đến khảo sát sai vùng đồ thị.

- Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận xiên khi bậc đa thức khác nhau.

- Bỏ qua lỗ loại bỏ và coi đó là tiệm cận đứng.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Qua bài viết, học sinh cần nắm vững các nội dung sau:

- Định nghĩa: hàm dạng phân thức của hai đa thức, tập xác định loại bỏ giá trị làm mẫu số bằng 0.

- Tiệm cận: đứng (mẫu số=0), ngang (bậc tử số=bậc mẫu), xiên (bậc tử số=bậc mẫu+1).

- Lỗ loại bỏ khi có nhân tử chung, cần lưu ý rút gọn và khảo sát liên tục.

- Liên hệ với giới hạn, đạo hàm, tích phân và phân tích phân thức để giải bài tập ôn thi.