Hàm hữu tỉ là gì? Tầm quan trọng của hàm hữu tỉ trong toán lớp 12

Hàm hữu tỉ là một trong những khái niệm nền tảng của chương trình Toán lớp 12. Không chỉ xuất hiện xuyên suốt trong các phần bài tập đại số, hàm hữu tỉ còn đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực giải tích, giúp học sinh tiếp cận các dạng bài về giới hạn, tiệm cận, khảo sát hàm số và tính tích phân. Việc hiểu rõ và thành thạo các kiến thức về hàm hữu tỉ sẽ giúp các em tự tin ứng dụng khi giải toán, đặc biệt trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và Đại học.

Định nghĩa chính xác hàm hữu tỉ

Định nghĩa: Hàm hữu tỉ là hàm số có dạng tỉ số của hai đa thức một biến. Cụ thể,hàm số $f(x)$ được gọi là hàm hữu tỉ nếu:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

- Trong đó:$P(x)$và $Q(x)$là hai đa thức một biến.

- Điều kiện xác định:$Q(x) <br> \neq 0$.

Như vậy, mọi hàm số được tạo thành bằng cách lấy một đa thức chia cho một đa thức khác (sao cho mẫu khác 0) đều gọi là hàm hữu tỉ.

Các ví dụ minh họa về hàm hữu tỉ

Ví dụ 1:$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$

-$P(x) = 2x+1$(đa thức bậc 1),$Q(x) = x-3$(đa thức bậc 1).

- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Ví dụ 2:$g(x) = \frac{x^2-4}{x^2-1}$

-$P(x) = x^2-4$,$Q(x) = x^2-1$.

- Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$.

Ví dụ 3:$h(x) = \frac{3x^2 + 2x + 1}{5}$

-$Q(x) = 5$là hằng số khác 0, nên$h(x)$xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.

Phân loại hàm hữu tỉ

Theo bậc của tử số và mẫu số, có thể phân loại hàm hữu tỉ như sau:

Các bước thực hiện khi giải toán liên quan đến hàm hữu tỉ

Để xử lý bài toán hoặc khảo sát hàm hữu tỉ, lưu ý các bước sau:

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi học về hàm hữu tỉ

- Nếu tử số và mẫu số có thể đồng thời bằng 0 tại$x=a$, thì $x=a$là điểm gián đoạn loại rỗng (có thể rút gọn).

- Điểm$x=b$mà chỉ có mẫu số bằng 0 ($Q(b) = 0$,$P(b) <br> \neq 0$) thì $x=b$là tiệm cận đứng của đồ thị.

- Nếu bậc tử số $<=$bậc mẫu số: phân tích giới hạn để khảo sát tiệm cận ngang.

Mối liên hệ giữa hàm hữu tỉ với các khái niệm toán học khác

- Hàm hữu tỉ là trường hợp tổng quát của nhiều dạng hàm học sinh đã biết: nếu$Q(x)=1$thì chỉ còn hàm đa thức.

- Trong giải tích, hàm hữu tỉ thường xuất hiện trong các bài toán giới hạn, đạo hàm, tích phân (phân tích thành các phân thức đơn giản hơn).

- Mối liên hệ sâu sắc với bài toán tiệm cận: hàm hữu tỉ là ví dụ điển hình để xác định và vẽ tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

Các bài tập mẫu về hàm hữu tỉ có lời giải

Bài 1: Xác định tập xác định của hàm số $y = \frac{x-2}{x^2-4x+3}$.

Giải:

Mẫu số $x^2-4x+3=0 \iff x=1$hoặc$x=3$.

Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1;3\}$.

Bài 2: Rút gọn biểu thức hàm hữu tỉ $y = \frac{x^2-1}{x-1}$.

Giải:

$x^2-1 = (x-1)(x+1) \Rightarrow y = x+1$với điều kiện xác định$x <br> \neq 1$.

Bài 3: Cho hàm số $y=\frac{2x^2+3x-2}{x^2-1}$. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giải:

Mẫu số $x^2-1=0 \iff x=1$hoặc$x=-1$nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng tại$x=1$,$x=-1$.

Xét tiệm cận ngang khi$x \to \pm \infty$:

Tử và mẫu cùng bậc 2, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$.

Bài 4: Nhận xét điều kiện xác định và điểm gián đoạn của$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$.

Giải:

Mẫu số $x-2=0 \Rightarrow x=2$không xác định. Tử số $x^2-4$cũng bằng 0 tại$x=2$.

Biểu thức rút gọn thành$f(x)=x+2$với$x <br> \neq 2$.

Như vậy,$x=2$là điểm gián đoạn loại rỗng.

Các lỗi thường gặp và cách tránh khi làm bài tập về hàm hữu tỉ

Để tránh lỗi, hãy luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi tiến hành các bước tiếp theo, chú ý rút gọn kỹ càng và so sánh bậc tử/mẫu cẩn thận.

Tóm tắt và những điểm chính cần nhớ về hàm hữu tỉ

- Hàm hữu tỉ là tỉ số của hai đa thức một biến với mẫu khác 0.

- Khi làm bài liên quan đến hàm hữu tỉ: luôn tìm tập xác định, rút gọn biểu thức, nhận diện điểm gián đoạn/tiệm cận.

- Hàm hữu tỉ gắn bó mật thiết với các chủ đề giải tích: giới hạn, khảo sát, vẽ đồ thị, tích phân phân thức.

- Nắm chắc khái niệm, tính chất hàm hữu tỉ giúp học tốt các dạng toán phần Đại số và Giải tích lớp 12.