1. Giới thiệu về hàm liên tục không âm

Trong chương trình toán học lớp 12, đặc biệt ở phần Giải tích, khái niệm "hàm liên tục không âm" xuất hiện rất nhiều trong các bài toán về tích phân và ứng dụng hình học như tính diện tích hình phẳng hay thể tích khối tròn xoay. Việc hiểu rõ khái niệm này không chỉ giúp học sinh giải quyết bài toán một cách chính xác, mà còn là nền tảng để học tốt các kiến thức nâng cao và các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa hàm liên tục không âm

Cho một hàm số $f(x)$xác định trên một khoảng hoặc đoạn$I$(ví dụ $[a, b]$). Khi đó, hàm số $f(x)$ được gọi là "liên tục không âm" trên$I$nếu:

Nói cách khác, giá trị của hàm số không âm tại mọi điểm trong đoạn xét (có thể bằng 0 hoặc dương), và hàm liên tục trên đoạn đó.

3. Phân tích chi tiết và ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, ta xem các ví dụ và giải thích cụ thể từng khía cạnh:

• Ví dụ 1: Xét hàm số $f(x) = x^2$trên đoạn$[0, 2]$.

- Hàm$x^2$liên tục trên$equad [0, 2]$vì nó là đa thức.

- Với mọi$x$thuộc$[0,2]$,$x^2 \geq 0$.

=> Kết luận:$f(x)$là hàm liên tục không âm trên$[0,2]$.

• Ví dụ 2: Xét hàm số $g(x) = \sin x$trên đoạn$[0, \pi]$.

- Hàm $\sin x$liên tục trên$[0, \pi]$.

- Với mọi $x$trong$[0, \pi]$, $\sin x \geq 0$(do$\sin x$từ $0$ đến$1$ trên đoạn này).

=>$g(x)$là hàm liên tục không âm trên$[0, \pi]$.

• Ví dụ 3: Xét hàm$h(x) = x - 1$trên đoạn$[0, 2]$.

- Dễ thấy$h(x)$liên tục trên$[0, 2]$.

- Tuy nhiên,$h(0) = -1 < 0$, nên không phải mọi$x$có $h(x) \geq 0$, do đó đây KHÔNG phải là hàm liên tục không âm trên$[0,2]$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm liên tục không âm đặc biệt quan trọng khi xét tích phân xác định:

Nếu$f(x)$liên tục không âm trên$[a, b]$thì $\int$_a^b$f(x)$dx$\geq$0

- Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành$Ox$, và các đường thẳng$x = a$,$x = b$, điều kiện$f(x) \geq 0$giúp diện tích đúng bằng chính tích phân xác định:

Diện tích$S = \int_a^b f(x) dx$nếu$f(x)$liên tục không âm trên$[a, b]$.

6. Bài tập áp dụng và lời giải chi tiết

• Bài tập 1: Cho hàm$f(x) = 2x + 1$trên đoạn$[0, 2]$. Hỏi$f(x)$có phải là hàm liên tục không âm trên$[0,2]$không? Tính$<br>int_0^2 f(x) dx$.

Giải:

-$f(x)$là hàm bậc nhất, liên tục trên$equad [0,2]$.

- Với mọi$x \in [0,2]$:$f(x) = 2x+1 \geq 1 > 0$, luôn dương.

=>$f(x)$là hàm liên tục không âm trên$[0,2]$.

-$\int_0^2 (2x+1)dx = \left[ x^2 + x \right]_0^2 = (4+2) - 0 = 6$.

• Bài tập 2: Hàm$f(x) = x^2 - 4x + 3$trên$[1,3]$có là hàm liên tục không âm không? Tính$<br>int_1^3 f(x) dx$nếu có.

Giải:

-$f(x)$liên tục trên$[1,3]$(đa thức).

-$f(x) = (x-1)(x-3)$; Tại$x=1$hoặc$x=3$,$f(x)=0$; trên$(1,3)$,$f(x)<0$(trừ hai đầu mút); Vậy$f(x)$không phải là hàm liên tục không âm trên$[1,3]$.

• Bài tập 3: Chỉ ra một hàm liên tục không âm mà không luôn dương trên đoạn$[0,1]$.

Giải:$f(x) = x^2$chẳng hạn. Hàm liên tục,$f(0) = 0$, các điểm còn lại dương.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

Việc nắm vững khái niệm hàm liên tục không âm sẽ giúp các bạn tự tin giải quyết nhiều dạng toán liên quan đến tích phân và ứng dụng trong thực hành, đặc biệt là các bài toán diện tích hình phẳng và các ứng dụng hình học quan trọng khác trong chương trình lớp 12.