Hàm lợi nhuận: Khái niệm, hướng dẫn giải và ý nghĩa thực tiễn trong Toán 12

1. Giới thiệu về hàm lợi nhuận trong Toán học lớp 12

Trong chương trình Toán học lớp 12, "hàm lợi nhuận" là một khái niệm quan trọng, thường xuất hiện trong các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa lợi ích kinh doanh. Việc hiểu rõ hàm lợi nhuận giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, kỹ năng mô hình hóa và giải quyết các bài toán thực tiễn, đồng thời chuẩn bị tốt cho các kỳ thi THPT Quốc gia cũng như các tình huống trong cuộc sống liên quan đến kinh tế và quản lý tài chính.

2. Định nghĩa hàm lợi nhuận

Hàm lợi nhuận là một hàm số thể hiện mối quan hệ giữa số lượng sản phẩm bán ra (hoặc một đại lượng biến thiên nào đó) với tổng lợi nhuận thu được. Nếu gọi$x$là số lượng sản phẩm bán ra, thì hàm lợi nhuận thường được ký hiệu là $L(x)$và được tính như sau:

$L(x)$=$B(x)$-$C(x)$

Trong đó:

-$B(x)$: Hàm doanh thu, biểu thị tổng số tiền thu được khi bán$x$sản phẩm.
-$C(x)$: Hàm chi phí, biểu thị tổng chi phí phải bỏ ra để sản xuất và bán$x$sản phẩm.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ: Một công ty sản xuất nước uống đóng chai với giá bán mỗi chai là 10.000 đồng. Biết rằng chi phí sản xuất và quảng cáo cho mỗi chai là 7.000 đồng và công ty còn phải trả thêm 1.500.000 đồng chi phí cố định mỗi tháng.

Hãy lập hàm lợi nhuận theo số lượng chai nước$x$bán ra trong tháng.

Giải:

- Hàm doanh thu:$B(x) = 10.000x$
- Hàm chi phí:$C(x) = 7.000x + 1.500.000$
- Hàm lợi nhuận:$L(x) = B(x) - C(x) = 10.000x - (7.000x + 1.500.000) = 3.000x - 1.500.000$

Ý nghĩa: Nếu bán được$x$chai nước, lợi nhuận công ty thu được là $L(x) = 3.000x - 1.500.000$ đồng.

Nếu muốn biết số chai nước tối thiểu cần bán để không bị lỗ (tức lợi nhuận bằng 0), giải phương trình:

$L(x) = 0 \rightarrow 3.000x - 1.500.000 = 0 \rightarrow x = 500 <br />$

Vậy cần bán ít nhất 500 chai để hoà vốn, bán nhiều hơn thì có lãi, bán ít hơn sẽ lỗ.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu hàm lợi nhuận$L(x)$là hàm bậc nhất, bài toán thường tìm giá trị $x$để$L(x) > 0$(có lãi) hoặc cực trị nếu có ràng buộc.
- Nếu hàm$B(x)$hoặc$C(x)$là hàm bậc hai hoặc bậc cao hơn (ví dụ: hiệu suất tăng giảm, chi phí tăng nhanh khi sản xuất nhiều), thì $L(x)$cũng là một hàm bậc cao. Lúc này, phải dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của$L(x)$.

Lưu ý: Số lượng$x$luôn là số nguyên dương hoặc số nguyên không âm, tuỳ thuộc vào ngữ cảnh thực tế (không thể sản xuất số lượng âm sản phẩm). Giá trị $x$tìm được phải thoả mãn các điều kiện của bài toán.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm lợi nhuận có liên quan trực tiếp đến các khái niệm:

- Hàm số bậc nhất, bậc hai: Hình dạng và tính chất của đồ thị $L(x)$.
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Dùng để tìm mức sản xuất tối ưu.
- Ứng dụng đạo hàm: Giúp tìm cực trị (tối đa, tối thiểu) của hàm lợi nhuận.
- Bất phương trình: Xác định khi nào có lãi bằng cách giải bất phương trình$L(x) > 0$.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Một xí nghiệp sản xuất bàn ghế có chi phí sản xuất cho$x$bộ sản phẩm là $C(x) = 2x^2 + 100x + 5.000.000$ đồng. Giá bán mỗi bộ là 400.000 đồng. (a) Lập hàm lợi nhuận. (b) Tìm số sản phẩm để lợi nhuận đạt lớn nhất trong vòng 1 tháng.

Giải:

(a) Doanh thu:$B(x) = 400.000x$

Hàm lợi nhuận:$L(x) = 400.000x - (2x^2 + 100x + 5.000.000) = -2x^2 + 300.000x - 5.000.000$

(b) Để lợi nhuận đạt lớn nhất, tìm cực đại của hàm$L(x)$:

Lấy đạo hàm:$L'(x) = -4x + 300.000$

Cho$L'(x) = 0 \rightarrow -4x + 300.000 = 0 \rightarrow x = 75.000$

Vậy số bộ sản phẩm xấp xỉ $75.000$là đạt lợi nhuận lớn nhất (cần kiểm tra vùng xác định hợp lý của$x$trong thực tế).

Bài 2: Một công ty bán sữa có hàm chi phí $C(x) = 15x + 20.000$và giá bán mỗi hộp sữa là 20.000 đồng.
Tính số hộp sữa tối thiểu phải bán để có lãi.

Giải:

Hàm doanh thu:$B(x) = 20.000x$

Hàm lợi nhuận:$L(x) = B(x) - C(x) = 20.000x - (15x + 20.000) = 19.985x - 20.000$

Có lãi khi$L(x) > 0 \rightarrow 19.985x - 20.000 > 0 \rightarrow x > 1,00125$

Nên cần tối thiểu 2 hộp sữa mới có lãi.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa doanh thu và lợi nhuận.
- Quên trừ chi phí cố định trong hàm chi phí $C(x)$.
- Bỏ sót điều kiện thực tế ($x$nguyên, không âm).
- Không kiểm tra tính thực tế của kết quả (ví dụ bán số lượng âm hoặc quá lớn so với năng lực sản xuất).

Cách tránh: Luôn viết rõ từng thành phần$B(x)$,$C(x)$, kiểm tra lại điều kiện bài toán và xác minh kết quả có phù hợp thực tế không.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm lợi nhuận$L(x) = B(x) - C(x)$là công cụ xác định lợi ích của quá trình sản xuất, kinh doanh.
- Khi giải bài toán về hàm lợi nhuận, cần xác định rõ doanh thu, chi phí và chú ý các điều kiện ràng buộc thực tế của bài toán.
- Nếu hàm lợi nhuận là bậc hai trở lên, sử dụng đạo hàm để tìm lợi nhuận cực đại hoặc cực tiểu.
- Thành thạo với bài toán hàm lợi nhuận sẽ giúp giải tốt các bài toán ứng dụng thực tế và các bài toán tối ưu trong chương trình Toán 12.