Blog

Lớp 12

Giải thích chi tiết về Hàm lượng giác cơ bản cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của hàm lượng giác cơ bản

Hàm lượng giác cơ bản là một chủ đề nền tảng trong chương trình toán học lớp 12, đặc biệt quan trọng với các khối thi tự nhiên và kỹ thuật. Chúng không chỉ thường xuyên xuất hiện trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia mà còn xuyên suốt các ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, công nghệ thông tin, cũng như trong các ngành khoa học khác. Việc hiểu rõ các hàm lượng giác cơ bản giúp học sinh dễ dàng giải các bài toán về lượng giác, giải tích, hình học không gian, phương trình, bất phương trình và nhiều vấn đề thực tiễn khác.

2. Định nghĩa chính xác hàm lượng giác cơ bản

Có sáu hàm lượng giác cơ bản liên hệ với các góc trong tam giác vuông và đường tròn lượng giác. Cho gócxx(đơn vị radian hoặc độ), ta định nghĩa:

  1. sin⁡x\sin x (sin): tỉ số giữa đối và huyền trong tam giác vuông, hoặc hoành độ điểm trên đường tròn lượng giác.
  2. cos⁡x\cos x(cos): tỉ số giữa kề và huyền trong tam giác vuông, hoặc tung độ điểm trên đường tròn lượng giác.
  3. tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} (tan): tỉ số giữa đối và kề.
  4. cot⁡x=1tan⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x} (cot): tỉ số giữa kề và đối.
  5. sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x} (sec): nghịch đảo của cos.
  6. csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \frac{1}{\sin x} (cosec): nghịch đảo của sin.

Các hàm này cho phép mô tả mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác vuông cũng như các dao động tuần hoàn trong đời sống và kỹ thuật.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Định nghĩa dựa trên tam giác vuông:

Cho tam giác vuông ABC với góc vuông tại B, gócx=BAC^x = \widehat{BAC}.

  • sin⁡x=BCAC\sin x = \frac{BC}{AC} (đối/huyền)
  • cos⁡x=ABAC\cos x = \frac{AB}{AC}(kề/huyền)
  • tan⁡x=BCAB\tan x = \frac{BC}{AB}(đối/kề)

    • b) Định nghĩa trên đường tròn lượng giác:

    Trên đường tròn lượng giác bán kính 1, lấy điểmMM ứng với cung gócxx(điểmA(1;0)A(1;0)là gốc). Khi đó M(cosx,sinx)M(cos x, sin x).

    • sin⁡x\sin xlà tung độ củaMM, cos⁡x\cos x là hoành độ.

    Ví dụ minh họa

    Bài toán: Cho tam giác vuông có gócA=30∘A = 30^\circ, cạnh huyềnBC=2BC = 2.

    - Tính sin⁡30∘\sin 30^\circ, cos⁡30∘\cos 30^\circ, tan⁡30∘\tan 30^\circ.

    Lời giải:

    - sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}
    - cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
    - tan⁡30∘=sin⁡30∘cos⁡30∘=1232=13\tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

    Một số giá trị đặc biệt cần nhớ (góc tính theo độ):

  • sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1
  • cos⁡0∘=1\cos 0^\circ = 1, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0
    • Hình minh họa: Minh họa tam giác vuông ABC có góc A = 30° và cạnh huyền BC = 2; thể hiện cạnh kề <span class= 2\cos30^\circ=\sqrt3 , cạnh đối 2\sin30^\circ=1 và các giá trị \sin30^\circ=\tfrac12 , undefined 2\cos30^\circ=\sqrt3 ,cạnhđo^ˊi, cạnh đối 2\sin30^\circ=1 vaˋcaˊcgiaˊtrịvà các giá trị \sin30^\circ=\tfrac12 ,, \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
    Minh họa tam giác vuông ABC có góc A = 30° và cạnh huyền BC = 2; thể hiện cạnh kề 2\cos30^\circ=\sqrt3 , cạnh đối 2\sin30^\circ=1 và các giá trị \sin30^\circ=\tfrac12 , $\cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3
  • tan⁡0∘=0\tan 0^\circ = 0, tan⁡30∘=13\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}, tan⁡90∘\tan 90^\circ không xác định.

    • Lưu ý: <br/>−tan⁡x<br />- \tan xkhông xác định khicos⁡x=0\cos x = 0(tứcx=90∘,270∘,...x = 90^\circ, 270^\circ,...)
    - cot⁡x\cot xkhông xác định khisin⁡x=0\sin x = 0(tứcx=0∘,180∘,...x = 0^\circ, 180^\circ,...)

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Hàm lượng giác cơ bản là nền tảng để:
    - Giải các phương trình, bất phương trình lượng giác.
    - Tính đạo hàm, nguyên hàm của các hàm số lượng giác trong giải tích.
    - Ứng dụng trong hình học giải tích phẳng và không gian (ví dụ: tính diện tích tam giác, khoảng cách giữa hai điểm...)
    - Gắn bó mật thiết với các công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc, các đẳng thức lượng giác.
    - Liên hệ tới chu kỳ, sóng trong vật lý và kỹ thuật điện tử.

    6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Tính giá trị các hàm lượng giác cơ bản củax=60∘x = 60^\circ.

    Giải:
    - sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
    - cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}
    - tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}
    - cot⁡60∘=13\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}

    Bài tập 2: Cho cos⁡x=23\cos x = \frac{2}{3}, xxlà góc nhọn. Tínhsin⁡x\sin xvà tan⁡x\tan x.

    Giải:
    Vì xxnhọn nênsin⁡x>0\sin x > 0. Áp dụng đẳng thức sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1:
    sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−(23)2=1−49=59\sin^2 x = 1- \cos^2 x = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

    Vậy sin⁡x=59=53\sin x = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.
    tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=5323=52\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}

    Bài tập 3: Tính sin⁡150∘\sin 150^\circ, cos⁡150∘\cos 150^\circ, tan⁡150∘\tan 150^\circ.

    Giải:
    Vì 150∘=180∘−30∘150^\circ = 180^\circ - 30^\circnên:

    - sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
    - cos⁡150∘=−cos⁡30∘=−32\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}
    - tan⁡150∘=−tan⁡30∘=−13\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Luyện tập nhầm đơn vị góc (độ và radian). Luôn kiểm tra đơn vị đầu bài.
  • Dùng sai dấu các giá trị hàm lượng giác ở các góc thuộc các góc phần tư khác nhau. Lưu ý quy tắc dấu của hàm lượng giác ở các góc phần tư trên đường tròn lượng giác.
  • Quên điều kiện xác định của tan⁡x\tan x, cot⁡x\cot x, sec⁡x\sec x, csc⁡x\csc x.
  • Áp dụng sai công thức lượng giác (ví dụ cộng, nhân đôi, hạ bậc). Luôn viết lại công thức trước khi thế số.

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

    - Có 6 hàm lượng giác cơ bản: sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x,cot⁡x,sec⁡x,csc⁡x\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x.
    - Các hàm này mô tả mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác vuông, cũng như vị trí tương ứng trên đường tròn lượng giác.
    - Cần nhớ đặc biệt các giá trị tại các góc quan trọng: 0∘,30∘,45∘,60∘,90∘0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ.
    - Nắm vững các công thức cơ bản, dấu hàm trong bốn góc phần tư, và điều kiện xác định của các hàm.
    - Luyện tập nhiều bài tập giúp ghi nhớ và tránh nhầm lẫn khi áp dụng.

    Hàm lượng giác cơ bản là kiến thức cốt lõi để học sinh tự tin giải quyết các bài toán lượng giác và mở rộng sang nhiều lĩnh vực khoa học khác.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".