1. Giới thiệu về hàm mũ và logarit

Hàm mũ và logarit là hai khái niệm quan trọng bậc nhất trong toán học phổ thông, đặc biệt trong chương trình lớp 12. Đây là công cụ nền tảng để xử lý các bài toán về tăng trưởng, phân rã, tính toán lãi suất kép, giải phương trình và bất phương trình chứa lũy thừa, logarit, cùng nhiều ứng dụng trong vật lý, hóa học, kinh tế… Việc hiểu rõ và nắm vững các tính chất của hàm mũ và logarit giúp học sinh giải quyết tốt các bài tập trong sách giáo khoa, ôn luyện thi THPT Quốc gia và các kỳ thi đại học, đồng thời mở rộng tư duy toán học.

2. Định nghĩa chính xác và đầy đủ

a. Hàm mũ

Hàm mũ cơ bản nhất là hàm số $y = a^x$với$a > 0$,$a <br> \neq 1$,$x \in \mathbb{R}$. Điều kiện$a > 0$,$a <br> \neq 1$là để tránh trường hợp không xác định hoặc hàm không còn là đơn điệu.

b. Hàm logarit

Hàm logarit là hàm số nghịch đảo của hàm mũ, có dạng$y = \log_a x$với$a > 0$,$a <br> \neq 1$,$x > 0$.

$\log_a x$ được định nghĩa là số thực$y$sao cho$a^y = x$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a. Ví dụ hàm mũ:

Xét hàm số $y = 2^x$.

– Nếu$x = 0$thì $y = 2^0 = 1$.
– Nếu$x = 3$thì $y = 2^3 = 8$.
– Nếu$x = -2$thì $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Hàm số này luôn nhận giá trị dương, tăng nhanh khi$x$tăng.

b. Ví dụ hàm logarit:

Xét$y = \log_2 8$:
Ta đặt$y = \log_2 8$. Theo định nghĩa,$2^y = 8$tức là $y = 3$(vì $2^3 = 8$).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

– Hàm logarit là hàm ngược (nghịch đảo) của hàm mũ: Nếu$y = a^x$thì $x = \log_a y$.
– Trong đạo hàm, nguyên hàm:
+ Đạo hàm của$a^x$là $a^x \ln a$.
+ Đạo hàm của$\log_a x$là $\frac{1}{x \ln a}$.
– Dùng hàm mũ và logarit để biến đổi số mũ, giải phương trình, bất phương trình, tính nghiệm của các bài toán lãi kép, tăng trưởng…

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải phương trình$2^{x+3} = 16$

Lời giải:

$2^{x+3} = 16 = 2^4$

⇒$x+3 = 4$

⇒$x = 1$

Bài tập 2: Tính$y = \log_3 81$

Lời giải:$81 = 3^4 \Rightarrow y = \log_3 3^4 = 4$

Bài tập 3: Giải phương trình$\log_5 (x - 1) = 2$

Lời giải: Ta có $5^2 = x - 1 \Rightarrow x = 25 + 1 = 26$.

Bài tập 4: Đạo hàm của$f(x) = 2^x$Lời giải:$f'(x) = 2^x \ln 2$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt – Những điểm chính cần nhớ

– Hàm mũ $y = a^x$: điều kiện$a > 0, a <br> \neq 1$, xác định với$x \in \mathbb{R}$.
– Hàm logarit$y = \log_a x$: điều kiện$a > 0, a <br> \neq 1, x > 0$.
– Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ.
– Ghi nhớ các công thức biến đổi cơ bản và điều kiện xác định để tránh sai lầm.
– Hàm mũ và logarit có ứng dụng rộng khắp trong toán học và các môn khoa học tự nhiên.