Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc cao hơn ở tử

Trong chương trình Toán 12, đặc biệt ở phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, hàm phân thức là một dạng hàm số rất quan trọng. Hiểu rõ về “hàm phân thức bậc cao hơn ở tử” không chỉ giúp các bạn giải đúng nhiều bài tập về đường tiệm cận mà còn giúp phân tích đồ thị một cách toàn diện hơn.

2. Định nghĩa hàm phân thức bậc cao hơn ở tử

Hàm phân thức là hàm số có dạng:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

trong đó $P(x)$và $Q(x)$là các đa thức,$Q(x) \neq 0$.

“Bậc của tử” là bậc của đa thức$P(x)$; “bậc của mẫu” là bậc của$Q(x)$. Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu, ta nói đây là “hàm phân thức bậc cao hơn ở tử”.

3. Giải thích với ví dụ minh họa

Xét ví dụ hàm số:

$y = \frac{x^3 + 2}{x^2 + 1}$

Ở đây, tử là $x^3 + 2$(bậc 3), mẫu là $x^2 + 1$(bậc 2). Bậc của tử (3) lớn hơn bậc của mẫu (2) nên đây là một hàm phân thức bậc cao hơn ở tử.

Một bước quan trọng khi khảo sát loại hàm này là chia đa thức tử cho đa thức mẫu. Ta thực hiện phép chia:

$\frac{x^3 + 2}{x^2 + 1} = x + \frac{-(x) + 2}{x^2 + 1}$

Kết quả là $x$(đa thức) cộng với một phân thức bậc thấp hơn, điều này rất quan trọng khi xác định giới hạn hoặc tiệm cận của hàm số! Khi$x \to \infty$, phần phân thức tiệm cận về 0, còn$x$sẽ chi phối giá trị hàm số. Như vậy, hàm số sẽ có tiệm cận xiên$y = x$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Hàm phân thức có thể chia thành 3 trường hợp chính:

• Bậc của tử < bậc của mẫu: Hàm có tiệm cận ngang$y = 0$.
• Bậc của tử = bậc của mẫu: Hàm có tiệm cận ngang$y = \frac{a}{b}$(với$a, b$là hệ số bậc cao nhất của tử, mẫu).
• Bậc của tử > bậc của mẫu: Hàm có tiệm cận xiên (hoặc dạng đa thức bậc cao hơn, nếu chênh lệch bậc lớn hơn 1).

Khi bậc tử lớn hơn mẫu nhiều hơn 1 (ví dụ tử bậc 4, mẫu bậc 2), tiệm cận là một đa thức (ở ví dụ này là tiệm cận parabol hoặc bậc 2).

Chú ý: Luôn kiểm tra và xác định miền xác định ($Q(x) \neq 0$), đồng thời loại các giá trị làm mẫu bằng 0.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Liên quan mật thiết với phép chia đa thức, giới hạn khi$x \to \pm \infty$và tiệm cận.
- Biết chia đa thức và xác định bậc sẽ giúp giải bài toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị, tìm cực trị, xác định tính đồng biến, nghịch biến...

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Xét hàm số $y = \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + 1}$.

- Tìm miền xác định, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.

Giải:

+ Miền xác định:$x^2 + 1 \neq 0 \forall x \in \mathbb{R}$nên hàm xác định với mọi$x$.

+ Tiệm cận ngang: Vì bậc tử > bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang.

+ Tiệm cận xiên: Chia$x^3 - 2x + 1$cho$x^2 + 1$:
$(x^3 - 2x + 1):(x^2 + 1) = x + \frac{-2x + 1 - x}{x^2 + 1} = x + \frac{-3x + 1}{x^2 + 1}$
Khi$x \to \pm \infty$, phân thức tiệm cận về 0, nên tiệm cận xiên là $y = x$.

Bài tập 2. Xét hàm$y = \frac{x^4 + x}{x^2 + 1}$.
- Tìm tiệm cận của hàm số khi$x \to \infty$.

Giải:
Chia$x^4 + x$cho$x^2 + 1$:

Ta thực hiện phép chia:

Bước 1:$x^4 \div x^2 = x^2$;
$x^2 \cdot (x^2 + 1) = x^4 + x^2$

Lấy$x^4 + x$trừ $x^4 + x^2$:$x^4 + x - (x^4 + x^2) = -x^2 + x$

Bước 2:$-x^2 \div x^2 = -1$;
$-1 \cdot (x^2 + 1) = -x^2 - 1$

Lấy$-x^2 + x - (-x^2 - 1) = x + 1$

Vậy:
$\frac{x^4 + x}{x^2 + 1} = x^2 - 1 + \frac{x + 1}{x^2 + 1}$

Khi$x \to \infty$,$\frac{x + 1}{x^2 + 1} \to 0$, nên hàm có tiệm cận parabol$y = x^2 - 1$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chưa kiểm tra miền xác định (các$x$làm mẫu bằng 0).
• Sai khi chia đa thức, nhầm dấu hoặc sót bậc.
• Nhầm giữa bậc của tử và mẫu, dẫn tới sai tiệm cận.
• Kết luận tiệm cận dựa vào giới hạn nhưng không chú ý đủ các trường hợp.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử nghĩa là bậc tử lớn hơn bậc mẫu.
• Loại hàm này thường có tiệm cận xiên hoặc bậc cao hơn, không có tiệm cận ngang.
• Cần chia tử cho mẫu để xác định dạng tiệm cận.
• Chú ý kiểm tra miền xác định và các giá trị đặc biệt của bài toán.
• Nắm chắc chia đa thức và kỹ năng giới hạn để giải thành thạo dạng bài này.