Blog

Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử: Khái niệm, phân tích và phương pháp giải cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc cao hơn ở tử và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 12, đặc biệt ở phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, "Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử" là một khái niệm quan trọng mà học sinh cần nắm vững. Sự hiểu biết về loại hàm số này không chỉ giúp nhận diện chính xác hàm số, mà còn là nền tảng để xác định các yếu tố quan trọng như tiệm cận xiên, tiệm cận ngang, và khảo sát đồ thị. Nó còn giúp học sinh giải thành thạo các bài toán về tính giới hạn, đạo hàm và tích phân ứng dụng trong phòng thi và thực tế.

2. Định nghĩa chính xác hàm phân thức bậc cao hơn ở tử

Một hàm phân thức tổng quát có dạng:

y=P(x)Q(x)y = \frac{P(x)}{Q(x)}

Trong đó P(x)P(x)Q(x)Q(x)là hai đa thức với hệ số thực và Q(x)0Q(x) \neq 0.

-bc P(x)bạc~P(x)gọi là bậc tử (denoteddeg(P(x))=n\deg(P(x)) = n)

-bc Q(x)bạc~Q(x)gọi là bậc mẫu (denoteddeg(Q(x))=m\deg(Q(x)) = m)

"Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử" là hàm phân thức mà bậc của đa thức ở tử lớn hơn bậc của đa thức ở mẫu, tức là n>mn > m.

Ví dụ:y=x32x+1x2+1y = \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + 1}là hàm phân thức bậc cao hơn ở tử vì tử là bậc 3, mẫu là bậc 2.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Xét hàm phân thức bậc cao hơn ở tử:

y=x32x+1x2+1y = \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + 1}

Các bước xử lý và khảo sát hàm số này thường gồm:

a) Phân tích phân thức qua phép chia đa thức:

- Dùng phép chia đa thức để viết lạiyydưới dạng:

y=Q(x)+R(x)D(x)y = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}

Trong đó Q(x)Q(x)là thương,R(x)R(x)là số dư và D(x)D(x)là mẫu.

- Áp dụng: Chiax32x+1x^3 - 2x + 1chox2+1x^2 + 1:

-x3:x2=xx^3: x^2 = x, nhân lại:x3+xx^3 + x, lấyx32x+1(x3+x)=3x+1x^3 - 2x + 1 - (x^3 + x) = -3x + 1

- Vậy:y=x+3x+1x2+1y = x + \frac{-3x+1}{x^2 + 1}

b) Vẽ và nhận dạng tiệm cận xiên:

- Khixxtiến ra vô cùng,3x+1x2+1\frac{-3x + 1}{x^2 + 1}tiến về 0 nên đồ thị gần như đường thẳngy=xy = x.

c) Tính giới hạn và xác định tiệm cận:

<br/>limx±x32x+1x2+1=limx±(x+3x+1x2+1)=±<br/><br />\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \left(x + \frac{-3x + 1}{x^2+1}\right) = \pm \infty<br />
Nhưng ta thấy rằng phần dư ảnh hưởng rất ít, nêny=xy = xlà đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Tập xác định, nghiệm của hàm số và các vấn đề liên quan:

- Vớix2+10x^2 + 1 \ne 0với mọixRx \in \mathbb{R}, nên tập xác định là R\mathbb{R}.

4. Trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếun=m+1n = m + 1, hàm số sẽ có tiệm cận xiên. Công thức tìm tiệm cận xiên là thực hiện phép chia đa thức như trên:y=Q(x)y = Q(x).

- Nếun>m+1n > m + 1(tức bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhiều hơn 1), phần thương sau chia sẽ là đa thức bậc lớn hơn bậc 1 (bậc 2, bậc 3,...). Khi đó, đồ thị sẽ "bám sát" đa thức này khix|x|lớn.

- Nếun=mn = m: có tiệm cận ngangy=anbmy = \frac{a_n}{b_m}.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm phân thức là nền tảng cho các bài toán liên quan tới giới hạn, tiệm cận, khảo sát đồ thị và đạo hàm.

- Kỹ năng chia đa thức là rất quan trọng khi xét dạng hàm phân thức bậc cao hơn ở tử.

- Hiểu bản chất tiệm cận xiên và tiệm cận ngang giúp nắm vững bài toán vẽ đồ thị hàm phân thức.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hàm số y=2x33x2+1x21y = \frac{2x^3 - 3x^2 + 1}{x^2 - 1}.

a) Chia tử cho mẫu:

Chia2x32x^3chox2x^2: được2x2x.
Nhân:2x32x2x^3 - 2x
Lấy:2x33x2+1(2x32x)=3x2+2x+12x^3 - 3x^2 + 1 - (2x^3 - 2x) = -3x^2 + 2x + 1
Chia3x2-3x^2chox2x^2: được3-3
Nhân:3x2+3-3x^2 + 3
Lấy:3x2+2x+1(3x2+3)=2x2-3x^2 + 2x + 1 - (-3x^2 + 3) = 2x - 2

Vậy:
y=2x3+2x2x21y = 2x - 3 + \frac{2x - 2}{x^2 - 1}

b) Tiệm cận xiên là y=2x3y = 2x - 3.

c) Xác định tiệm cận đứng:x21=0x=1x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1hoặcx=1x = -1.

Bài 2: Cho hàm số y=x4+x2+1x2+1y = \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 + 1}.

a) Thực hiện phép chia đa thức:
Chiax4x^4chox2x^2: đượcx2x^2.
Nhân:x4+x2x^4 + x^2
Lấy:x4+x2+1(x4+x2)=1x^4 + x^2 + 1 - (x^4 + x^2) = 1
Vậy:
y=x2+1x2+1y = x^2 + \frac{1}{x^2 + 1}

b) Khix±x \to \pm \infty,1x2+1\frac{1}{x^2 + 1}tiến về 0, nên đồ thị "bám sát" đườngy=x2y = x^2.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không thực hiện phép chia đa thức: Dẫn đến nhầm khi xác định tiệm cận.
- Lẫn lộn giữa tiệm cận xiên, tiệm cận ngang, tiệm cận đứng.
- Bỏ sót điều kiện xác định của hàm phân thức.
- Nhập sai hệ số hoặc nhầm lẫn về bậc đa thức khi chia.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm phân thức bậc cao hơn ở tử là hàm số có bậc tử lớn hơn bậc mẫu.

- Để xét tiệm cận, cần chia tử cho mẫu để tách phần đa thức và phần dư.

- Tiệm cận xiên xuất hiện khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1.
- Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhiều hơn 1, phần đa thức sau khi chia chính là đường mà đồ thị bám sát khix±x \to \pm \infty.

- Luôn xác định đúng tập xác định của hàm số phân thức.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".