Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất: y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là một loại hàm số quan trọng trong chương trình Toán học lớp 12. Việc hiểu và thành thạo xử lý loại hàm này không chỉ giúp giải quyết tốt các bài tập khảo sát hàm số, vẽ đồ thị mà còn là nền tảng để học các kiến thức sâu hơn ở bậc Đại học và giải quyết các bài toán thực tế.

2. Định nghĩa hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là hàm số có dạng tổng quát:

$y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \quad (m \neq 0)$

Trong đó:

• $a, b, c, m, n$là các hằng số thực với$m \neq 0$.
• Tử số $ax^2 + bx + c$là đa thức bậc hai.
• Mẫu số $mx + n$là đa thức bậc nhất.

3. Đặc điểm và các bước khảo sát hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Để phân tích loại hàm này, ta cần thực hiện các bước sau:

• a) Xác định tập xác định.
• b) Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hoặc xiên.
• c) Tính đạo hàm, khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị.
• d) Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị (giao với trục hoành, trục tung).
• e) Vẽ đồ thị.

4. Ví dụ minh họa từng bước khảo sát

Ví dụ: Xét hàm số $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$.

a) Tập xác định:$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Tập xác định là $\mathscr{D} = \mathbb{R} \backslash \{2\}$.

b) Tiệm cận đứng: Giải$x - 2 = 0$ \Rightarrow x = 2$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng$x = 2$.

c) Tiệm cận xiên: Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị, ta sẽ tìm tiệm cận xiên bằng chia đa thức:

$\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} = 2x + 1 + \frac{3}{x - 2}$

Do đó, đồ thị có tiệm cận xiên$y = 2x + 1$.

d) Giao với trục hoành:$y = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 3x + 1 = 0$

Giải:$x = 1$hoặc$x = \frac{1}{2}$. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại$x = 1$và $x = \frac{1}{2}$.

e) Giao với trục tung: Cho$x = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

f) Đạo hàm để khảo sát cực trị:

- Đặt$y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$.

- Tính đạo hàm theo quy tắc thương:

$y' = \frac{(4x - 3)(x-2) - (2x^2 - 3x + 1) \cdot 1}{(x-2)^2}$

- Giản lược, tìm các điểm$y' = 0$ để xác định cực trị (có thể tiếp tục theo yêu cầu, bài viết sẽ đi sâu chi tiết ở phần bài tập mẫu).

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi khảo sát

- Nếu$mx + n$chia hết$ax^2 + bx + c$: Hàm sẽ trở thành đa thức bậc nhất, không còn là phân thức.

- Nếu$a = 0$thì hàm trở thành hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.

- Nếu$b = c = 0$thì hàm có dạng$y = \frac{ax^2}{mx+n}$, cần đặc biệt lưu ý khi tính đạo hàm.

- Nếu$a=b=0$thì hàm trở thành$y = \frac{c}{mx+n}$là hàm hyperbol.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất liên quan mật thiết với các khái niệm đạo hàm, giới hạn, khảo sát sự biến thiên, tìm tiệm cận của hàm số.

- Thuật toán chia đa thức là công cụ căn bản để rút gọn và tìm tiệm cận xiên cho hàm kiểu này.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 4}{x + 1}$.

Giải:

• Tập xác định:$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
• Tiệm cận đứng:$x = -1$.
• Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị, lấy phép chia:$\frac{x^2 - 4}{x + 1} = x - 1 + \frac{-3}{x + 1}$, nên có tiệm cận xiên$y = x - 1$.
• Giao trục hoành:$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2, x = -2$.
• Giao trục tung:$x = 0 \Rightarrow y = \frac{0^2 - 4}{1} = -4$.
• Đạo hàm:$y' = \frac{2x(x+1) - (x^2 - 4) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x+1)^2}$.
• Giải$y' = 0$. Ta nhận thấy$x^2 + 2x + 4$không có nghiệm thực nên hàm không có cực trị.
• Vẽ đồ thị dựa trên các dữ kiện trên.

Bài tập 2: Tìm các tiệm cận và điểm đặc biệt của hàm số $y = \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x - 1}$.

Lời giải:

• Tập xác định:$x \neq \frac{1}{2}$.
• Tiệm cận đứng:$x = \frac{1}{2}$.
• Chia:$\frac{3x^2 + 2x - 1}{2x - 1} = 1.5x + 1.25 + \frac{0.25}{2x-1} \Rightarrow$tiệm cận xiên$y = 1.5x + 1.25$.
• Giao trục hoành:$3x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}, x = -1$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên loại trừ giá trị khiến mẫu số bằng 0 khỏi tập xác định.
• Tính sai tiệm cận do chia đa thức chưa chính xác.
• Lẫn lộn giữa tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.
• Giải nhầm phương trình tử số hoặc mẫu số.
• Không kiểm tra kỹ điều kiện xác định của bài toán.

9. Tổng kết và các điểm chính cần nhớ

• Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng$y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$với$m \neq 0$.
• Các bước khảo sát gồm: xác định tập xác định – tìm tiệm cận – tính đạo hàm khảo sát cực trị – tìm giao trục – vẽ đồ thị.
• Cần vận dụng kỹ năng chia đa thức, đạo hàm, và giải phương trình bậc hai.
• Cẩn thận các trường hợp đặc biệt và luôn kiểm tra điều kiện xác định.