Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất: y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Trong chương trình Toán lớp 12, học sinh gặp rất nhiều dạng hàm số, trong đó hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là một dạng quan trọng cả về mặt kiến thức lẫn ứng dụng làm bài tập. Việc hiểu rõ bản chất, cách khảo sát và vẽ đồ thị của dạng hàm số này giúp em dễ dàng vượt qua các bài kiểm tra, thi THPT Quốc gia và nắm chắc căn bản để học chuyên sâu hơn ở các bậc học cao hơn.

2. Định nghĩa hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là hàm số có dạng chung:

với$a$,$b$,$c$,$m$,$n$là các hằng số,$a \ne 0$,$m \ne 0$và $mx + n \ne 0$(tức là mẫu số khác 0).

Đây là một hàm số phân thức hữu tỉ. Tử số là đa thức bậc hai$($ax^2 + bx + c$)$, mẫu số là đa thức bậc nhất$($mx + n$)$.

3. Phân tích và giải thích từng bước – Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, hãy xét ví dụ cụ thể sau:

a) Tập xác định: Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$. Vậy tập xác định $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

b) Tìm tiệm cận:

• Tiệm cận đứng:$x = 2$(vì mẫu số bằng 0 tại$x=2$)
• Tiệm cận xiên: vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu một đơn vị, ta thực hiện phép chia đa thức:
• $2x^2 - 3x + 1 \div (x-2)$:

Chia$2x^2$cho$x$ được$2x$, nhân ngược lại:$2x(x-2) = 2x^2 - 4x$
ewline
Trừ đi trong tử:$(2x^2 - 3x + 1) - (2x^2 - 4x) = x + 1$
ewline
Chia$x$cho$x$ được$1$, nhân lại:$1(x-2) = x - 2$
ewline
Trừ tiếp:$(x + 1) - (x - 2) = 3$
ewline
Vậy:$2x^2 - 3x + 1 = (x-2)(2x+1) + 3$
ewline
Suy ra:$y = 2x + 1 + \frac{3}{x-2}$
ewline
Khi$x \to \pm \infty$,$\frac{3}{x-2} \to 0$nên hàm số có tiệm cận xiên$y = 2x + 1$.

c) Kiểm tra giao điểm:

• Giao với trục hoành (y = 0):
• Giải:$2x^2 - 3x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$;$x_2 = \frac{1}{2}$(cả hai đều khác$x=2$nên có hai giao điểm thật)
• Giao với trục tung (x = 0):$y = \frac{2.0^2 - 3.0 + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$; có điểm$(0; -\frac{1}{2})$

4. Các trường hợp đặc biệt & lưu ý khi khảo sát

- Khi$m = 0$thì mẫu số thành$n$, hàm trở thành đa thức bậc hai thông thường.

- Nếu tử cũng chia hết cho mẫu, kết quả trở thành đa thức.

- Khi$a = 0$, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất$(đã học ở lớp 10-11)$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm phân thức nói chung liên quan đến dạng giới hạn, đạo hàm, khảo sát sự biến thiên và có ý nghĩa thực tế như biểu diễn vận tốc thời điểm, tỷ lệ thay đổi trong các hệ vật lý.

- Đồ thị của hàm này thường xuất hiện khi khảo sát cực trị, xác định tiệm cận, bài toán về tốc độ, hiệu suất... trong các kỳ thi.

6. Các bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x+1}$
Hãy xác định tập xác định và các tiệm cận của hàm số.

Giải:

• Tập xác định:$x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$
• Tiệm cận đứng:$x = -1$
• Tiệm cận xiên: Chia$3x^2 + 2x - 1$cho$x+1$:
  - Lấy$3x^2$chia$x$ được$3x$, nhân lại$(3x)(x+1)=3x^2+3x$, trừ đi còn$-x-1$.
  - Lấy$-x$chia$x$ được$-1$, nhân lại$-1(x+1) = -x-1$trừ đi còn$0$.
  Vậy$y = 3x - 1$, khi$x \to \pm \infty, y \to 3x - 1$, nên hàm số có tiệm cận xiên$y=3x-1$.

Bài tập 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm$y = \frac{-x^2 + 4x}{2x - 3}$.

Giải:

• Tập xác định:$2x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{3}{2}$
• Tiệm cận đứng:$x = \frac{3}{2}$
• Tiệm cận xiên: Chia$-x^2 + 4x$cho$2x - 3$:
  -$(-x^2 + 4x) \div (2x - 3)$:
  -$-x^2/(2x) = -\frac{1}{2}x$, nhân lại$(-\frac{1}{2}x)(2x-3) = -x^2 + \frac{3}{2}x$; trừ đi còn$\frac{5}{2}x$.
  -$\frac{5}{2}x \div 2x = \frac{5}{4}$, nhân lại$\frac{5}{4}(2x-3) = \frac{5}{2}x - \frac{15}{4}$, trừ đi còn$\frac{15}{4}$.
  Vậy$-x^2 + 4x = (2x-3)(-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}) + \frac{15}{4}$.
  Do đó:$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{4} + \frac{15}{4(2x-3)}$.
  Hàm số có tiệm cận xiên$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên điều kiện xác định (mẫu số khác 0).

- Nhầm lẫn giữa tiệm cận ngang (bậc tử = bậc mẫu) và tiệm cận xiên (bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị).

- Không chia đúng đa thức tử số cho mẫu số để tìm tiệm cận xiên.

- Không kiểm tra lại nghiệm giao với trục hoành/trục tung có nằm trong tập xác định hay không.

8. Tóm tắt kiến thức và các điểm cần nhớ

- Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng tổng quát$y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$($a \ne 0, m \ne 0$).

- Cách khảo sát: Xác định tập xác định, tìm tiệm cận (đứng, xiên), xác định giao điểm với các trục, phân tích giới hạn khi$x \to \infty$và $x \to -\infty$.

- Hình dạng đồ thị quyết định bởi vị trí tiệm cận, các giao điểm, cực trị và sự biến thiên của hàm số.

- Khi thực hiện các bước, cần cẩn thận xác định điều kiện xác định, không được quên kiểm tra nghiệm, chia đa thức chính xác để tìm tiệm cận xiên. Đây là lỗi làm mất điểm phổ biến trong thi cử.

- Nhớ liên hệ với kiến thức các hàm cơ bản (bậc nhất, bậc hai) và phân biệt rõ khi nào dùng tiệm cận ngang, xiên, hay hàm chuyển thành đa thức.