1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất (hay còn gọi là hàm hữu tỉ bậc nhất) là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và giải tích. Hiểu rõ tính chất, cách biến đổi và ứng dụng của loại hàm này giúp học sinh giải nhanh các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số. Bên cạnh đó, khái niệm này còn xuất hiện trong các bài toán thực tế và trong hình học giải tích khi xác định phép biến hình tỷ lệ và phép tịnh tiến.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng

Cho các hằng số $a,b,c,d$thỏa mãn$ad-bc<br> \neq 0$và $c<br> \neq 0$. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất được định nghĩa bởi công thức sau:

Trong đó:

- Đồ thị của$f(x)$là một hyperbol có hai tiệm cận: tiệm cận đứng$x=-\frac{d}{c}$và tiệm cận ngang$y=\frac{a}{c}$(nếu$c<br> \neq 0$).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định miền xác định. Loại bỏ giá trị làm mẫu số bằng 0.

Ví dụ: Cho $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$. Mẫu số $x-1=0 \Rightarrow x<br> \neq 1$. Vậy miền xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Bước 2: Tìm tiệm cận ngang. Ta xét$\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2x+3}{x-1}=2.$Như vậy tiệm cận ngang là $y=2$.

Bước 3: Tìm tiệm cận đứng. Ấn định$x-1=0 \Rightarrow x=1$, vì mẫu số đi tới 0 còn tử số không bằng 0, nên tiệm cận đứng là $x=1$.

Bước 4: Viết dưới dạng tách phân thức để dễ khảo sát:$f(x)=\frac{2x+3}{x-1}=2+\frac{5}{x-1}.$

Bước 5: Khảo sát dấu và vẽ đồ thị. Dựa vào biểu thức$2+\frac{5}{x-1}$, ta biết khi$x>1$thì $f(x)>2$, khi$x<1$thì $f(x)<2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Trường hợp$c=0$thì hàm trở thành hàm bậc nhất$f(x)=\frac{ax+b}{d}=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}$. Không còn tiệm cận đứng, chỉ có đồ thị là đường thẳng.

• Nếu$ad-bc=0$thì hàm bị quy giản thành hằng số:$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c},$ điều này làm mất tính hyperbol.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là ví dụ điển hình của phép biến hình hữu tỉ (phép đồng tử). Ở chương hình học giải tích, nó tương ứng với phép tỉ lệ tịnh tiến và đảo (phép Möbius). Trong giải tích, khái niệm này gắn với khảo sát giới hạn, tiệm cận, bất đẳng thức và tích phân không chính thức.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định miền xác định và tiệm cận của hàm$f(x)=\frac{3x-1}{2x+5}.$

Giải: Mẫu số $2x+5=0 \Rightarrow x=-\frac{5}{2}$. Miền xác định $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{ -\tfrac{5}{2}\}$.

Tiệm cận ngang:$\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=\frac{3}{2},$nên$y=\tfrac{3}{2}$. Tiệm cận đứng:$x=-\tfrac{5}{2}$.

Bài tập 2: Giải bất đẳng thức$\frac{2x+1}{x-3}>0.$

Giải: Xét dấu tử và mẫu:

- Tử số $2x+1=0 \Rightarrow x=-\tfrac{1}{2}$.

- Mẫu số $x-3=0 \Rightarrow x=3$.

Bảng dấu:

x<−½: tử âm, mẫu âm → thương dương; −½3: tử dương, mẫu dương → thương dương.

Vậy nghiệm của bất đẳng thức là $(-\infty,-\tfrac{1}{2}) \cup (3,+\infty).$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm giá trị làm tử số bằng 0 với giá trị làm mẫu số bằng 0 → dẫn tới xác định sai miền xác định.

• Quên xét dấu mẫu số khi giải bất đẳng thức → sai kết quả tập nghiệm.

• Không tách phân thức sang dạng hằng số cộng phân thức đơn giản → khó khảo sát đồ thị.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$,$ad-bc<br>eq0$,$c<br>eq0$.

• Miền xác định:$x<br> \neq -\tfrac{d}{c}$. Tiệm cận đứng:$x=-\tfrac{d}{c}$; tiệm cận ngang:$y=\tfrac{a}{c}$.

• Để khảo sát đồ thị, viết lại$f(x)=\tfrac{a}{c}+\tfrac{ad-bc}{c(cx+d)}$hoặc tách hằng số.

• Lưu ý xét dấu mẫu số khi giải bất đẳng thức có phân thức.