Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: Khái niệm và hướng dẫn chi tiết

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số - Giải tích Toán lớp 12. Đây là dạng hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$với các hằng số thực$a,b,c,d$và $ad-bc \neq 0$. Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh phát triển kỹ năng phân tích, giải bài tập phương trình, bất đẳng thức và hiểu sâu về hình dạng đồ thị hàm hữu tỉ.

2. Định nghĩa chính xác

Cho các hằng số thực$a,b,c,d$thỏa mãn$ad-bc \neq 0$. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất được định nghĩa bởi công thức:

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$

với điều kiện xác định$cx+d \neq 0$. Do đó tập xác định của hàm là$D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac{d}{c}\right\}$(nếu$c \neq 0$).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để nghiên cứu hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định. Mẫu số phải khác 0: $cx+d \neq 0\;\Longrightarrow\;x \neq -\frac{d}{c}$.

Bước 2: Tìm tiệm cận ngang. Khi$x\to \pm \infty$,$y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a+\tfrac{b}{x}}{c+\tfrac{d}{x}}\to\frac{a}{c}$.

Vậy đường thẳng $y=\frac{a}{c}$là tiệm cận ngang (nếu$c \neq 0$).

Bước 3: Tìm tiệm cận đứng. Đường thẳng $x=-\frac{d}{c}$ là tiệm cận đứng.

Bước 4: Tìm giao điểm với các trục:

– Với trục Ox: đặt$y=0 \Rightarrow ax+b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{a}$(nếu$a \neq 0$).

– Với trục Oy: đặt$x=0 \Rightarrow y=\frac{b}{d}$(nếu$d \neq 0$).

Bước 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị dựa trên các tính chất thu được.

Ví dụ: Xét hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$

– Điều kiện xác định: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

– Tiệm cận ngang: $y=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{2x+3}{x-1}=2$.

– Tiệm cận đứng: $x=1$.

– Giao với Ox:$x=-\frac{3}{2}$. Giao với Oy:$y=-3$.

– Đồ thị là hypebol với hai tiệm cận:$x=1$và $y=2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

– Nếu$c=0$nhưng$a \neq 0$, hàm trở thành đường thẳng:$y=\tfrac{ax+b}{d}=\tfrac{a}{d}x+\tfrac{b}{d}$.

– Nếu$ad-bc=0$, biểu thức có thể rút gọn thành hằng số nhưng vẫn loại giá trị làm mẫu số bằng 0.

– Trường hợp tử và mẫu có nhân tử chung: Ví dụ $y=\frac{2x+2}{4x+4}=\frac{1}{2},\quad x \neq -1.$

– Luôn chú ý điều kiện xác định trước khi biến đổi để tránh sai sót.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

– Là trường hợp đơn giản nhất của hàm hữu tỉ, liên quan chặt chẽ đến hàm số bậc nhất và đồ thị hypebol.

– Trong giải tích, khái niệm tiệm cận gắn với giới hạn và đạo hàm.

– Trong luyện thi THPT Quốc gia, thường kết hợp với phương trình, bất đẳng thức và bài toán tối ưu.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$. Xác định tập xác định, tiệm cận, giao điểm và phác thảo đồ thị.

Lời giải:

– Tập xác định:$x \neq 1$.

– Tiệm cận ngang:$y=2$.

– Tiệm cận đứng:$x=1$.

– Giao Ox:$x=-\frac{3}{2}$. Giao Oy:$y=-3$.

– Đồ thị: hai nhánh hypebol với tiệm cận$x=1, y=2$.

Bài tập 2: Xét hàm số $y=\frac{-x+2}{2x+1}$. Tìm tập xác định, tiệm cận và nghiên cứu dấu.

Lời giải:

– Tập xác định:$2x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\tfrac{1}{2}$.

– Tiệm cận ngang:$y=\lim_{x\to \pm \infty}\frac{-x+2}{2x+1}=\tfrac{-1}{2}$.

– Tiệm cận đứng:$x=-\tfrac{1}{2}$.

– Nghiệm dấu:

• Trên$(-\infty,-\tfrac{1}{2})$, tử dương, mẫu âm ⇒$y<0$.

• Trên$(-\tfrac{1}{2},2)$, tử dương, mẫu dương ⇒$y>0$.

• Trên$(2,\infty)$, tử âm, mẫu dương ⇒$y<0$.

– Dựa vào các tính chất trên, vẽ đồ thị hypebol.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

– Quên điều kiện xác định dẫn đến tính nhầm tiệm cận hoặc giá trị hàm.

– Nhầm tiệm cận ngang với tiệm cận xiên khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu.

– Sai dấu khi xét bất phương trình trong phân thức.

– Không xét trường hợp đặc biệt$c=0$hoặc$ad-bc=0$.

Cách tránh: Luôn bắt đầu bằng việc viết điều kiện xác định, sau đó thực hiện tuần tự các bước nghiên cứu.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

– Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, điều kiện xác định$cx+d \neq 0$.

– Tiệm cận ngang:$y=\tfrac{a}{c}$. Tiệm cận đứng:$x=-\tfrac{d}{c}$.

– Giao Ox:$x=-\tfrac{b}{a}$; Giao Oy:$y=\tfrac{b}{d}$(khi$a,d \neq 0$).

– Trường hợp đặc biệt: hàm thành đường thẳng hoặc hằng số khi$c=0$hoặc$ad-bc=0$.

– Vẽ đồ thị hypebol dựa vào vị trí tiệm cận và giao điểm.

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Hãy luyện tập thêm để nắm vững và áp dụng thành thạo.