Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất – Khái niệm, ví dụ, bài tập và hướng dẫn chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học lớp 12. Đối với học sinh ôn thi THPT Quốc gia, đây là dạng hàm số xuất hiện nhiều trong các đề thi trắc nghiệm, tự luận cũng như trong các bài toán thực tiễn. Việc hiểu rõ loại hàm này giúp học sinh dễ dàng phân tích đồ thị, xác định tiệm cận, giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, cực trị, và ứng dụng thực tế.

2. Định nghĩa chính xác hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức dạng:

$y = \frac{ax + b}{cx + d}$, với$a, b, c, d$là các hằng số thực,$c \neq 0$,$(a, b)$và $(c, d)$không đồng thời tỉ lệ.

Trong đó, tử số $ax + b$và mẫu số $cx + d$ đều là những biểu thức bậc nhất của$x$.

Điều kiện xác định (miền xác định) của hàm số là $cx + d \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -\frac{d}{c}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét một ví dụ cụ thể:

Ví dụ: Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số.

Điều kiện xác định:$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

- Tiệm cận đứng: Giải phương trình$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại$x = 3$.

- Tiệm cận ngang: Xét giới hạn khi$x \to \pm \infty$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = 2$

=> Đồ thị có tiệm cận ngang$y = 2$.

- Tìm hoành độ giao điểm với trục hoành: Đặt$y=0 \Rightarrow 2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.

- Tìm tung độ giao điểm với trục tung: Đặt$x=0 \Rightarrow y = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.

Như vậy, đồ thị hàm số:

• Có tiệm cận đứng$x = 3$
• Có tiệm cận ngang$y = 2$
• Cắt trục hoành tại điểm$(-\frac{1}{2}; 0)$
• Cắt trục tung tại điểm$(0; -\frac{1}{3})$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$a = 0$(tử số chỉ còn$b$), hàm số trở thành hàm hằng trừ tại$x = -\frac{d}{c}$.

- Nếu$c = 0$, hàm số trở thành dạng bậc nhất ($y=\frac{ax + b}{d}$), không còn là phân thức.

- Nếu$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$, tử và mẫu tỉ lệ với nhau, hàm số xác định trên$\forall x \neq -\frac{d}{c}$và luôn nhận giá trị không đổi với mọi$x$trong TXĐ.

- Nếu$ad - bc = 0$, đồ thị không cắt trục hoành và trục tung.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là trường hợp đặc biệt của hàm phân thức nói chung ($\frac{P(x)}{Q(x)}$).

- Đồ thị của loại hàm này là một hyperbol (hypebol), và tương ứng với phép biến hình tịnh tiến và đồng dạng của đồ thị $y = \frac{1}{x}$.

- Khảo sát hàm này giúp rèn luyện kỹ năng phân tích tiệm cận, giá trị, tương giao, tính đơn điệu, cực trị – những điểm quan trọng trong giải tích và ứng dụng thực tế.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{2x - 1}$.

Lời giải:

• Miền xác định:$2x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{1}{2}$
• Tiệm cận đứng:$x = \frac{1}{2}$
• Tiệm cận ngang:$\lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{2x -1} = \frac{1}{2}$
• Cắt trục hoành:$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
• Cắt trục tung:$y = \frac{0 + 1}{2 \cdot 0 - 1} = -1$

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị $m$để đồ thị$y = \frac{2x + m}{x - 2}$cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương.

Lời giải:

$y = 0 \Leftrightarrow 2x + m = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{m}{2}$. Để hoành độ dương:$-\frac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m < 0$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên điều kiện xác định của hàm số (lỗi quên loại nghiệm$x = -\frac{d}{c}$)
• Nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
• Không kiểm tra trường hợp đặc biệt khi tử số và mẫu số tỷ lệ với nhau
• Lỗi chia nhầm dấu khi thao tác biến đổi biểu thức

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• - Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng$y = \frac{ax + b}{cx + d}$($c \neq 0$).
• - Xác định đúng miền xác định, tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và giao điểm với các trục.
• - Các trường hợp đặc biệt phải được chú ý để tránh sai sót.
• - Kỹ năng khảo sát và vẽ đồ thị loại hàm này là nền tảng để học tốt các chương tiếp theo của giải tích THPT.

Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh lớp 12 hiểu rõ và vận dụng thành thạo hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.