Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: Chi tiết về khái niệm, phương pháp và lưu ý cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất và tầm quan trọng

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một trong những dạng hàm số quan trọng và cơ bản nhất trong chương trình toán học lớp 12. Đây là nền tảng cho việc tìm hiểu các chủ đề phức tạp hơn về hàm số, đồ thị, tiếp tuyến cũng như ứng dụng trong giải quyết các bài toán thực tiễn thuộc các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Việc nắm vững khái niệm và các tính chất của hàm số này sẽ giúp các em học sinh thuận lợi hơn khi học phần toán hàm số và ôn luyện thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là hàm số có dạng tổng quát như sau:

y = \frac{ax + b}{cx + d} \quad (a, b, c, d \in \mathbb{R};\c \neq 0\ \, và\ad - bc \neq 0)

Trong đó:$a, b, c, d$là các hằng số thực;$c \neq 0$ đảm bảo mẫu thức có bậc nhất;$ad - bc \neq 0$ để hàm số không trở thành hằng số.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn, hãy xét một ví dụ cụ thể về hàm số này và cùng đi sâu giải thích từng yếu tố của nó.

Ví dụ: Cho hàm số $y = \frac{2x-3}{x+1}$.

a. Xác định tập xác định:

Với $y = \frac{2x-3}{x+1}$, biểu thức có nghĩa khi mẫu khác 0 nên ta có:
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Vậy tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

b. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:

• Tiệm cận đứng: Lấy giá trị $x$làm cho mẫu bằng 0:$x = -1$là tiệm cận đứng.
• Tiệm cận ngang: Xét giới hạn khi$x$tiến ra vô cùng:$\lim\limits_{x\to \pm \infty} \frac{2x-3}{x+1} = \lim\limits_{x\to \pm \infty} \frac{2-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}} = 2$Vậy$y=2$là tiệm cận ngang của đồ thị.

c. Khảo sát và vẽ đồ thị:

Ta có thể sử dụng phần mềm Geogebra hoặc vẽ bằng tay dựa trên các đặc điểm: tiệm cận đứng tại$x=-1$, tiệm cận ngang$y=2$, vẽ thêm các điểm đặc biệt như $x=0 \rightarrow y=\frac{-3}{1} = -3$,$x=1 \rightarrow y=\frac{2-3}{1+1}=\frac{-1}{2}=-0.5$ để phác thảo đồ thị.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu$c=0$thì hàm số trở thành hàm bậc nhất thông thường.
- Nếu$a/c = b/d$thì hàm số trở thành hằng số; ta không xét vào dạng này.
- Lưu ý: Mẫu$\neq 0$với mọi$x$trong tập xác định, và điều kiện$ad-bc \neq 0$ đảm bảo hàm số là bậc nhất trên bậc nhất chứ không bị rút gọn thành hàm bậc thấp hơn.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một trường hợp đặc biệt của hàm phân thức nói chung. Nó liên quan mật thiết đến :
- Khảo sát đồ thị hàm số
- Sự biến thiên, đạo hàm (giúp tìm cực trị, khoảng tăng giảm)
- Giải bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến phân thức
- Đường tiệm cận (ngang, đứng)
- Các phép biến đổi hàm số

6. Một số bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$y=\frac{3x+2}{x-4}$. Hãy tìm tập xác định, các đường tiệm cận, tính giá trị $y$khi$x=0$.

Giải:
- Tập xác định: $x-4 \neq 0\implies x \neq 4$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{4\}$
- Tiệm cận đứng: $x=4$
- Tiệm cận ngang: $\lim\limits_{x\to \pm \infty}\frac{3x+2}{x-4}=3$
- Giá trị tại $x=0:\ y=\frac{3 \times 0+2}{0-4} = \frac{2}{-4} = -0.5$

Bài tập 2: Hãy tìm nghiệm của phương trình$\frac{2x+5}{x-1}=3$

Giải:$\frac{2x+5}{x-1}=3 \implies 2x+5=3(x-1) \implies 2x+5=3x-3 \implies x=8$Ta kiểm tra lại:$x \neq 1$(trong tập xác định).$x=8$thoả mãn.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên xác định điều kiện mẫu khác 0, dẫn đến kết luận sai về tập xác định hoặc nghiệm phương trình.
• Không kiểm tra kỹ điều kiện$ad-bc \neq 0$, dẫn đến coi hàm là bậc nhất trên bậc nhất trong khi thực chất là hằng số hoặc bậc thấp hơn.
• Sai khi tính giới hạn tiệm cận (đặc biệt là quy đồng hoặc rút gọn biểu thức).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng $y=\frac{ax+b}{cx+d}$với$ad-bc \neq 0,\ c \neq 0$;
- Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{x: cx+d=0\}$;
- Có tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$và tiệm cận ngang$y=\frac{a}{c}$;
- Đồ thị là đường hypebol, ứng dụng nhiều trong giải bài toán thực tế và ôn thi THPT;