Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: Khái niệm, ví dụ minh họa và hướng dẫn chi tiết cho lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một trong những dạng hàm số cơ bản và quan trọng trong chương trình toán học lớp 12. Loại hàm này thường xuất hiện trong các bài toán khảo sát, vẽ đồ thị, giải phương trình, và ứng dụng vào thực tiễn. Nắm vững kiến thức về hàm phân thức sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết nhiều bài toán và tiếp cận các kiến thức toán học nâng cao hơn.

2. Định nghĩa hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là hàm số có dạng tổng quát:

$y = \frac{ax + b}{cx + d}$

Trong đó:

• $a, b, c, d$là các số thực,$c \neq 0$hoặc$a d - b c \neq 0$
• Biến số $x$là số thực bất kỳ với điều kiện$cx + d \neq 0$(tức mẫu số khác 0)

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất còn gọi là hàm hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất.

3. Khảo sát và giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Xác định tập xác định

Như đã định nghĩa, hàm số xác định khi$cx + d \neq 0$, tức$x \neq -\frac{d}{c}$.

Tập xác định:$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

b) Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn có hai tiệm cận: một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

- Tiệm cận đứng: nghiệm của$cx + d = 0 \Rightarrow x = -\frac{d}{c}$

- Tiệm cận ngang: lấy giới hạn khi$x \to \pm \infty$. Vì bậc tử và mẫu đều là 1 nên tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$

- Tiệm cận đứng:$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

- Tiệm cận ngang:$y = \frac{2}{1} = 2$

c) Xét chiều biến thiên và cực trị

Tính đạo hàm của$y$ để xét đồng biến, nghịch biến:

$y = \frac{ax + b}{cx + d}$

Đạo hàm:

$y' = \frac{(a)(cx+d) - (ax+b)(c)}{(cx + d)^2} = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2}$

$= \frac{acx + ad - acx - bc}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$

Như vậy dấu của$y'$chỉ phụ thuộc vào$ad-bc$:

• Nếu$ad - bc > 0$thì $y' > 0$trên tập xác định$ightarrow$hàm số đồng biến.
• Nếu$ad - bc < 0$thì $y' < 0$trên tập xác định$ightarrow$hàm số nghịch biến.

$a = 2, b = 1, c = 1, d = -3$

$ad - bc = 2 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 = -6 - 1 = -7 < 0$

$ightarrow$Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

d) Vẽ đồ thị

Đồ thị của hàm phân thức này là một hyperbol, hai nhánh phân biệt, cắt trục hoành tại$y=0$(giải$ax+b=0$), cắt trục tung tại$x=0$(nếu$d \neq 0$). Khi vẽ, xác định rõ tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, giao điểm với trục tọa độ và chiều biến thiên.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu$a d = b c$thì $y' = 0$. Hàm số thành hàm hằng (đây là một trường hợp đặc biệt rất hiếm, thường không xét trong chương trình phổ thông).
• Nếu$c = 0$: Hàm trở thành$y = \frac{ax + b}{d}$là hàm bậc nhất. Chỉ coi là hàm phân thức khi$c \neq 0$.
• Không được thay$x$ để mẫu số bằng 0 khi tính giá trị hàm số.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Là một trường hợp đặc biệt của hàm hữu tỉ tổng quát.
- Liên quan trực tiếp đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (bài trọng tâm trong chương trình Toán 12).
- Thường xuất hiện khi giải bài toán thực tế hoặc các dạng bài phương trình, hệ phương trình.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bước 1: Tập xác định:$2x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2}$
Bước 2: Tiệm cận đứng:$x = -\frac{1}{2}$
Bước 3: Tiệm cận ngang:$y = \frac{3}{2}$
Bước 4: Giao điểm với trục hoành:$3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$
Bước 5: Giao điểm với trục tung:$x = 0 \Rightarrow y = \frac{-4}{1} = -4$
Bước 6: Xét biến thiên:$a d - b c = 3 \cdot 1 - (-4) \cdot 2 = 3 + 8 = 11 > 0 \rightarrow$Hàm số đồng biến.

Tập xác định:$x \neq -2$
Tiệm cận đứng:$x = -2$
Tiệm cận ngang:$y = \frac{-2}{1} = -2$
Đạo hàm:$a d - b c = -2 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = -4 - 5 = -9 < 0$, hàm số nghịch biến.
Giao điểm trục hoành:$-2x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$
Giao điểm trục tung:$x = 0 \Rightarrow y = 5/2$
* Phác đồ thị dựa trên các yếu tố trên.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên điều kiện xác định (lấy$x$làm mẫu bằng 0).
• Tìm sai tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang.
• Đổi nhầm dấu khi tính đạo hàm dạng$a d - b c$.
• Vẽ đồ thị thiếu các bước: xác định tiệm cận, chiều biến thiên, điểm cắt trục.

8. Tóm tắt kiến thức và điểm cần nhớ

• Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng$y = \frac{ax + b}{cx + d}$,$c \neq 0$
• Tập xác định:$cx + d \neq 0$
• Tiệm cận đứng:$x = -\frac{d}{c}$, tiệm cận ngang:$y = \frac{a}{c}$
• Dấu đạo hàm$ad-bc$: xác định chiều biến thiên (đồng/ nghịch biến)
• Đồ thị là hyperbol, hai nhánh – cần khảo sát để vẽ đúng

Hiểu rõ và thực hành tốt hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất sẽ giúp ích lớn cho việc học toán lớp 12 cũng như khi luyện thi đại học, THPT Quốc gia.