1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Trong chương trình toán học lớp 12, "hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất" là một trong những kiến thức cốt lõi và quan trọng, được ứng dụng nhiều trong giải toán cũng như trong các bài kiểm tra, kì thi THPT quốc gia. Việc hiểu rõ bản chất, cách phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến hàm này sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy logic, nhìn nhận hình học thông qua đồ thị và thực hành giải toán hiệu quả hơn.

2. Định nghĩa chính xác về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một loại hàm số có dạng:

trong đó $a, b, c, d$là các hằng số thực và $c <br> \neq 0$. Hàm số này được gọi là "bậc nhất trên bậc nhất" vì tử số là một biểu thức bậc nhất theo$x$và mẫu số cũng là một biểu thức bậc nhất theo$x$.

Tập xác định của hàm số này là $\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$, tức là tất cả các giá trị thực của $x$ ngoại trừ giá trị làm mẫu số bằng 0 (nơi hàm số không xác định).

3. Giải thích chi tiết từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta cùng xem xét ví dụ sau:

a. Tìm tập xác định:

Vậy tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$

b. Đi tìm các tiệm cận:

- Tiệm cận đứng: x = 3 (mẫu số bằng 0)

- Tiệm cận ngang: Ta xét giới hạn khi x tiến ra vô cùng

Vậy tiệm cận ngang là y = 2.

c. Cách vẽ đồ thị: Để vẽ hàm này trên giấy hoặc trên phần mềm (ví dụ GeoGebra), bạn xác định rõ các đường tiệm cận đứng (x = 3) và ngang (y = 2), sau đó lấy thêm vài điểm điển hình để nối thành nét đồ thị.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• - Khi$a = 0$: Hàm trở thành hằng số chia cho bậc nhất (là hàm phân thức bậc 0 trên bậc nhất)
• - Khi$c = 0$: Hàm trở thành hàm bậc nhất, không còn là phân thức trên bậc nhất.
• - Khi$a/c$là số hữu tỷ, tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$
• - Nếu mẫu số là hằng số $(d <br> \neq 0, c = 0)$thì hàm số này trở thành hàm bậc nhất (không phải phân thức).
• - Luôn lưu ý kiểm tra giá trị $x$làm mẫu số bằng 0 để tránh sai sót.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là bước trung gian giữa hàm bậc nhất (đường thẳng) và hàm phân thức nói chung. Đặc biệt, đồ thị của hàm này có dạng hyperbol, giống như đồ thị hàm$y = \frac{1}{x}$ở lớp dưới, nhưng được dịch chuyển và biến dạng tuỳ theo các hệ số$a, b, c, d$. Chúng cũng liên quan đến việc phân tích giới hạn, tiệm cận, giải phương trình, và có ứng dụng thực tế trong các bài toán vật lý, kinh tế.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{3x - 2}{x + 1}$. Tìm tập xác định, các tiệm cận và vẽ phác đồ thị.

Lời giải:

• + Tập xác định: $x + 1 <br> \neq 0 \rightarrow x <br> \neq -1$, vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{ -1 \}$
• + Tiệm cận đứng: x = -1 (làm mẫu số bằng 0)
• + Tiệm cận ngang:$\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{3x - 2}{x + 1} = 3$nên y = 3 là tiệm cận ngang.
• + Lấy thêm vài điểm: x = 0, y =$\frac{3 \cdot 0 - 2}{0 + 1}= -2$; x = 1, y =$\frac{3 \cdot 1 - 2}{1 + 1}=\frac{1}{2}$.

Vẽ đồ thị: Xác định trước hai đường tiệm cận x = -1 và y = 3, sau đó chấm thêm các điểm vừa tính và nối mềm mại thành hai nhánh hyperbol.

Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{x+5}{2x - 1}$.

• + Tập xác định: $2x - 1 <br> \neq 0 \rightarrow x <br> \neq \frac{1}{2}$, $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{1}{2} \right\}$
• + Tiệm cận đứng: x =$\frac{1}{2}$
• + Tiệm cận ngang:$\lim\limits_{x \to \pm \infty} \frac{x+5}{2x-1} = \frac{1}{2}$, y = 0.5 là tiệm cận ngang.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• - Không tìm tập xác định hoặc quên loại bỏ giá trị làm mẫu số bằng 0.
• - Xác định sai tiệm cận ngang do nhầm lẫn giữa bậc tử và bậc mẫu.
• - Không vẽ đúng hai nhánh đồ thị tương ứng hai miền trái phải của tiệm cận đứng.
• - Đánh giá nhầm dấu của các hệ số a, c khi kết luận vị trí tiệm cận.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• - Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng$y = \frac{ax+b}{cx+d}$với$c <br> \neq 0$.
• - Tập xác định là $\mathbb{R}$loại bỏ điểm$x = -\frac{d}{c}$.
• - Luôn xác định hai tiệm cận: Đứng$x = -\frac{d}{c}$, ngang$y = \frac{a}{c}$.
• - Đồ thị là hai nhánh hyperbol đối xứng qua giao điểm của hai tiệm cận.
• - Cần làm quen với việc thay đổi hệ số để nhận diện sự dịch chuyển, mở rộng hoặc co lại của đồ thị.

Việc nắm vững bản chất hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất sẽ giúp học sinh lớp 12 tự tin khi giải toán, vẽ đồ thị cũng như vận dụng vào các bài toán ứng dụng thực tiễn.