Định nghĩa: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng tổng quát:
$<br />y = f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} <br />$
với$a, b, c, d$là các hằng số,$c <br> \neq 0$, và $ad - bc <br> \neq 0$ để hàm số không rút gọn thành dạng hằng số.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$ (loại trừ mẫu số bằng 0)

Tính chất quan trọng: Đồ thị là hyperbol, có đường tiệm cận đứng ($x = -\frac{d}{c}$) và tiệm cận ngang ($y = \frac{a}{c}$nếu$c <br> \neq 0$)

Công thức tổng quát:$<br /> y = \frac{ax + b}{cx + d}$
- Tiệm cận đứng:$x = -\frac{d}{c}$
- Tiệm cận ngang:$y = \frac{a}{c}$
- Không giao đồ thị với tiệm cận

Cách ghi nhớ: Học thuộc công thức tổng quát và quy tắc xác định tiệm cận bằng cách thay số trực tiếp vào$c$và $d$(đối với tiệm cận đứng),$a$và $c$(đối với tiệm cận ngang)

Biến thể: Nếu$a=0$hoặc$b=0$, biểu thức trở nên đơn giản hơn; nhưng phải kiểm tra điều kiện xác định.

Bước 1: Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{3\right\}$vì $x-3=0$khi$x=3$

Bước 2: Tiệm cận đứng$x = 3$(lấy$x=-\frac{d}{c} = -(-3)/1 = 3$)

Bước 3: Tiệm cận ngang$y = \frac{2}{1} = 2$

Bước 4: Bảng biến thiên:
- Khi$x$tiến đến 3 từ trái và phải,$y$tiến đến$+\infty$hoặc$-\infty$.
- Khi$x\to \pm \infty$,$y\to 2$.

Giải:
Bất phương trình:
$<br />\frac{3x-2}{2x+5} > 1<br />$

Chuyển vế và quy đồng:

Ta xét dấu biểu thức$<br />\frac{x-7}{2x+5}$, đặt điều kiện$2x+5 <br> \neq 0 \Rightarrow x <br> \neq -2,5$.
Giải bất phương trình:
-$x-7 > 0 \Rightarrow x > 7$
-$2x+5 > 0 \Rightarrow x > -2,5$

Bảng xét dấu:
- Khi$x < -2,5$:$2x+5 < 0$
- Khi$x=7$:$x-7=0$

Kết luận:$\frac{x-7}{2x+5} > 0$khi$x > 7$hoặc$x < -2,5$

Nhưng cần loại giá trị $x = -2,5$(vì mẫu$=0$).

Nếu mẫu số có nghiệm kép hoặc chứa tham số, cần đặc biệt chú ý khi lập bảng xét dấu hoặc xác định tiệm cận.

Nếu$ad-bc = 0$, hàm trở thành hằng số:$y = \frac{a}{c}$(không phải hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất). Khi đó, bỏ qua dạng này!

Có thể dùng phần mềm vẽ đồ thị như Geogebra để quan sát sự biến thiên của hàm số khi thay đổi tham số.

Nhầm lẫn hàm bậc nhất trên bậc nhất với bậc hai trên bậc nhất; cần kiểm tra kỹ mẫu và tử trước khi giải.

Sai sót khi viết tập xác định (quên loại giá trị làm tử số hoặc mẫu số bằng 0). Hãy luôn giải phương trình mẫu số bằng 0 trước.

Lỗi trong quy đồng mẫu, chuyển vế – nên viết lại từng bước rõ ràng, không bỏ qua.

Bấm máy tính cẩn thận khi thay số, đặc biệt với tham số âm hoặc số thập phân.

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng$y=\frac{ax+b}{cx+d}$, tập xác định$x <br> \neq -\frac{d}{c}$

Ghi nhớ công thức tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Luyện tập nhiều để phân biệt với các dạng hàm khác

Dùng checklist sau trước khi làm bài: (1) Xác định tập xác định; (2) Xét tiệm cận; (3) Làm bảng biến thiên; (4) Đối chiếu với đáp án

Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày làm ít nhất 3 bài tập minh họa, cuối mỗi tuần kiểm tra lại kiến thức đã học.