Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: Khái niệm, ví dụ minh họa và các lưu ý quan trọng lớp 12

Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Trong chương trình toán học lớp 12, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một trong những dạng hàm số cơ bản nhưng rất quan trọng. Việc nắm vững kiến thức về hàm này giúp học sinh phân tích được đặc trưng của hàm số, vận dụng trong khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị, đồng thời là nền tảng để tiếp cận các bài toán phức tạp hơn như giải phương trình, bất phương trình hoặc tích phân các hàm phân thức.

Định nghĩa hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là hàm số có dạng:

Trong đó $a, b, c, d$là các hằng số thực, đồng thời yêu cầu$cx + d \ne 0$(tức$x \ne -\frac{d}{c}$với$c \neq 0$) để hàm số có nghĩa. Đây là phân thức vì tử số và mẫu số đều là các đa thức bậc nhất. Hàm này không xác định tại$x = -\frac{d}{c}$.

Ý nghĩa và vai trò trong chương trình toán học

Chi tiết về tập xác định của hàm số

Xét hàm$y = \frac{ax + b}{cx + d}$, để hàm xác định, mẫu số $cx + d \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -\frac{d}{c}$.

Tập xác định: $\mathscr{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$(khi$c \neq 0$).

Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Xác định tập xác định, tìm tiệm cận của hàm số

Xét hàm$y = \frac{2x + 3}{x - 1}$.

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

Cho hàm$y = \frac{-3x + 4}{2x - 1}$. Ta thực hiện các bước:

Vẽ đồ thị nháp với các tiệm cận:$x=\frac{1}{2}$,$y=\frac{-3}{2}$và chú ý tính chất đồng biến/nghịch biến.

Trường hợp đặc biệt và các lưu ý

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1

Cho$y = \frac{3x - 5}{2x + 1}$.

1) Tìm tập xác định của hàm số.
2) Tính các tiệm cận của đồ thị.
3) Xét chiều biến thiên của hàm số.

- Tập xác định:$2x+1\ne0 \Rightarrow x e -\frac{1}{2}$.

Tập xác định: $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-\frac{1}{2}\}$.

- Tiệm cận đứng:$x = -\frac{1}{2}$.

- Tiệm cận ngang:$\lim_{x\to \pm \infty} \frac{3x-5}{2x+1} = \frac{3}{2}$. Vậy$y=\frac{3}{2}$.

- Đạo hàm:
$y' = \frac{(2x+1) \cdot 3-(3x-5) \cdot 2}{(2x+1)^2} = \frac{6x+3-6x+10}{(2x+1)^2} = \frac{13}{(2x+1)^2} > 0$với mọi$x e -\frac{1}{2}$. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Bài tập 2

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 3}$.

- Tập xác định:$x e3$.

- Tiệm cận đứng:$x=3$.
- Tiệm cận ngang:$y=1$. ($\lim_{x\to \pm \infty}\frac{x+2}{x-3}=1$)
- Tính đạo hàm$y' = \frac{(x-3) \cdot 1-(x+2) \cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{x-3-x-2}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2}<0$với mọi$x e 3$. Vậy hàm số luôn nghịch biến.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ