Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) – Toàn tập cho lớp 12

1. Giới thiệu về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Trong chương trình Toán lớp 12, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đóng vai trò quan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng. Đây là một dạng hàm số có cấu trúc đặc biệt, thể hiện nhiều đặc điểm thú vị và thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi tốt nghiệp THPT và cả trong các kỳ xét tuyển đại học.

2. Định nghĩa hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là hàm số có dạng tổng quát:

$y = \frac{ax + b}{cx + d}$

trong đó $a$,$b$,$c$,$d$là các hằng số thực,$c \neq 0$ để mẫu số không phải là hằng số, và không đồng thời$a/c = b/d$(để hàm số không trở thành hằng số). Miền xác định của hàm là tất cả $x$thỏa mãn$cx + d \neq 0$.

3. Phân tích chi tiết – Ví dụ minh họa từng bước

Hãy cùng phân tích hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$.

a) Miền xác định: Ta có mẫu $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. Vậy miền xác định là $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Tìm tiệm cận:

c) Xét hành vi đồ thị:

− Khi$x$tiến đến 1 từ trái:$y \to -\infty$; Khi$x$tiến đến 1 từ phải:$y \to +\infty$.

d) Xét điểm đặc biệt:$y = 0 \Leftrightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại$x = -\frac{3}{2}$(khi$x = -\frac{3}{2}$,$x \neq 1$). Cắt trục tung tại$x = 0 \Rightarrow y = -3$.

e) Khảo sát sự biến thiên: Tính đạo hàm$y' = \frac{2(x - 1) - (2x + 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2}$.
Nhận xét: Vì $y' < 0$mọi$x \neq 1$, hàm số luôn nghịch biến. Đồ thị đi từ $y \to 2^-$ đến$y \to -\infty$khi$x \to 1^-$, và từ $y \to +\infty$xuống$y \to 2^+$khi$x \to 1^+$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

a) Nếu$a/c = b/d$thì hàm trở thành hằng số (vì tử và mẫu tỷ lệ tương ứng). Điều này thường bị loại trừ trong chương trình để đảm bảo tính đa dạng của tập nghiệm.
b) Nếu$c = 0$: Hàm số trở thành bậc nhất$y = \frac{ax + b}{d}$(đã học trước đây).
c) Nếu$a = 0, b \neq 0$: Hàm số thành$y = \frac{b}{cx+d}$.
d) Nếu$cx + d = 0$với giá trị $x$nào thì loại bỏ giá trị đó ra khỏi miền xác định.
Lưu ý luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi thực hiện các phép biến đổi trên.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một bước nối tiếp giữa các hàm số bậc nhất, bậc hai (trùng phương) và các hàm phân thức phức tạp hơn. Nó gắn liền với các khái niệm như:
- Tiệm cận (đứng, ngang)
- Giới hạn của hàm số
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
- Phương trình, bất phương trình chứa phân thức
Hiểu rõ hàm này giúp học sinh nắm bắt tốt hơn về khảo sát hàm số và giải các bài toán thực tế.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{-x + 2}{2x - 3}$
Giải:
- Miền xác định:$2x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$
- Tiệm cận đứng:$x = \frac{3}{2}$
- Tiệm cận ngang:$\lim_{x\to \pm \infty} \frac{-x + 2}{2x - 3} = \frac{-1}{2}$
- Điểm cắt trục hoành:$-x+2=0 \Rightarrow x=2$
- Điểm cắt trục tung:$x=0 \Rightarrow y=\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
- Đạo hàm:$y' = \frac{-1(2x-3) - 2(-x+2)}{(2x - 3)^2} = \frac{-2x+3+2x-4}{(2x-3)^2} = \frac{-1}{(2x-3)^2}$
Kết luận: Hàm luôn nghịch biến trừ điểm loại miền xác định.

Ví dụ 2: Giải phương trình$\frac{3x+2}{x-4}=1$.
Lời giải:$3x+2 = x-4 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$
Nhận xét:$x = -3 \neq 4$nên nghiệm chấp nhận.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên xác định điều kiện xác định (loại giá trị làm mẫu bằng 0).
- Nhầm giữa tiệm cận đứng và ngang.
- Đơn giản sai mẫu chung gây sai mệnh đề hoặc đồ thị không chính xác.
- Bỏ sót việc xét dấu đạo hàm.
Cách tránh: Luôn làm thận trọng từng bước, chú ý mẫu và điều kiện xác định trước khi triển khai các bước khảo sát, giải phương trình.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng$y = \frac{ax + b}{cx + d}$với$c \neq 0$.
• Luôn xác định miền xác định trước tiên.
• Xác định tiệm cận đứng (mẫu bằng 0) và tiệm cận ngang (tỷ số hệ số).
• Vẽ đồ thị cần xét điểm cắt trục hoành, tung, đạo hàm để khảo sát biến thiên.
• Chú ý các trường hợp đặc biệt để tránh sai sót.
Học vững khái niệm này giúp bạn tự tin giải quyết nhiều dạng toán trong đề thi và phát triển tư duy toán học.