1. Giới thiệu về khái niệm Hàm phân thức và tầm quan trọng của nó

Trong chương trình toán học phổ thông, đặc biệt là ở lớp 12, khái niệm hàm phân thức giữ một vai trò rất quan trọng. Hàm phân thức không chỉ giúp học sinh phát triển khả năng tư duy logic mà còn là cơ sở cho việc nghiên cứu các loại hàm phức tạp hơn như hàm hữu tỉ, hàm vô tỉ. Ngoài ra, kỹ năng giải các bài toán về hàm phân thức cũng là nền tảng cho phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, xác định các đường tiệm cận – một chủ đề xuất hiện rất nhiều trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học.

2. Định nghĩa chính xác về hàm phân thức

Hàm phân thức là một hàm số có dạng:

trong đó $P(x)$và $Q(x)$là các đa thức và $Q(x) <br>e 0$. Nói cách khác, hàm phân thức là thương của hai đa thức với mẫu số khác 0. Hàm phân thức đơn giản nhất là khi$P(x)$và $Q(x)$ đều là các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai.

3. Giải thích chi tiết hàm phân thức bằng ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số $y = \frac{2x+3}{x-1}$.

Ở đây:

• $P(x) = 2x+3$là đa thức bậc nhất.
• $Q(x) = x-1$là đa thức bậc nhất và $Q(x) <br>e 0$(nghĩa là $x <br>e 1$).

Miền xác định (tập xác định) của hàm số này là $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$, nghĩa là tất cả các giá trị thực trừ $x=1$.

Ví dụ 2: Xét hàm số $y = \frac{x^2-1}{x^2-4}$.

Ta có:

• $P(x) = x^2-1$là đa thức bậc hai.
• $Q(x) = x^2-4$là đa thức bậc hai và $Q(x) <br>e 0$(nghĩa là $x <br>e 2$và $x <br>e -2$).

Miền xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{2, -2\}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi làm việc với hàm phân thức

- Nếu$P(x)$chia hết cho$Q(x)$, hàm phân thức có thể rút gọn thành một đa thức.

- Nếu$Q(x) = 1$, ta thu được một đa thức bình thường.

- Với các giá trị $x$làm cho$Q(x)=0$, hàm số không xác định.

- Khi giải các bài toán về tiệm cận (đặc biệt là tiệm cận đứng), học sinh cần chú ý xác định rõ nghiệm của mẫu số.

5. Mối liên hệ của hàm phân thức với các khái niệm toán học khác

Hàm phân thức liên quan mật thiết đến nhiều chủ đề khác trong toán học lớp 12:

• Tìm miền xác định của hàm số.
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
• Tìm và xác định các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.
• Ứng dụng vào giải phương trình, bất phương trình có chứa phân thức.

Chính vì vậy, việc hiểu rõ về hàm phân thức giúp học sinh nắm chắc, làm chủ nhiều dạng bài tập trong chương trình toán học lớp 12 cũng như trong các kỳ thi quan trọng.

6. Các bài tập mẫu về hàm phân thức (có lời giải chi tiết)

Bài 1. Tìm miền xác định của hàm số $y=\frac{2x-1}{x^2-5x+6}$.

Giải:

$x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0 \Leftrightarrow x=2 \text{hoặc} x=3$ .

Vậy miền xác định là $D=\mathbb{R} \setminus \{2; 3\}$.

Bài 2. Xác định các tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{x+2}{x^2-4}$.

Giải:

Ta phân tích mẫu số $x^2-4=(x-2)(x+2)=0 \Leftrightarrow x=2 \text{hoặc} x=-2$ .

Vậy các tiệm cận đứng là $x=2$và $x=-2$.

Bài 3: Rút gọn và tìm miền xác định của$y=\frac{x^2-1}{(x-1)(x+2)}$

Giải:

$x^2-1=(x-1)(x+1) <br /> \Rightarrow y=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{x+1}{x+2}$với$x<br>e1, x<br>e-2$.

Vậy miền xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\{1; -2\}$.

7. Các lỗi thường gặp khi làm việc với hàm phân thức và cách tránh

• Không xác định đúng miền xác định của hàm phân thức (quên loại trừ nghiệm làm mẫu số bằng 0).
• Rút gọn phân thức nhưng không ghi chú hoặc vẫn giữ các giá trị cần loại trừ của mẫu số ban đầu.
• Nhầm lẫn giữa các loại tiệm cận hoặc xác định sai nghiệm của mẫu số.

Để tránh những lỗi này, học sinh nên:
- Luôn giải phương trình$Q(x)=0$ để tìm tập loại trừ trước khi thực hiện các phép biến đổi.
- Khi rút gọn phân thức, luôn ghi rõ giá trị không xác định để đảm bảo tính chính xác.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm phân thức là thương của hai đa thức với mẫu số khác 0.
• Miền xác định của hàm phân thức là tất cả giá trị $x$sao cho$Q(x) <br>e 0$.
• Hàm phân thức thường xuất hiện trong khảo sát và vẽ đồ thị, đặc biệt liên quan đến các đường tiệm cận đứng.
• Rút gọn hàm phân thức cần lưu ý loại trừ đúng giá trị không xác định.
• Luyện tập nhiều bài tập để tránh lỗi cơ bản và nắm chắc kỹ năng giải hàm phân thức.

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ về hàm phân thức, cách xác định miền xác định, tiệm cận, các trường hợp đặc biệt và mối quan hệ với các chủ đề toán học khác!