1. Giới thiệu về hàm phân thức và tầm quan trọng của nó

Trong chương trình toán học lớp 12, hàm phân thức là khái niệm trọng tâm, được sử dụng trong hầu hết các dạng bài liên quan đến hàm số, khảo sát và vẽ đồ thị. Việc nắm vững hàm phân thức giúp học sinh dễ dàng tiếp cận các bài toán khảo sát và ứng dụng vào thực tế như xác định giới hạn, tìm tiệm cận, giải phương trình và bất phương trình. Hàm phân thức còn là nền tảng để học sinh làm quen với các khái niệm nâng cao hơn trong giải tích và đại số ở bậc đại học.

2. Định nghĩa hàm phân thức

Hàm phân thức là hàm số có dạng:

$y = \frac{P(x)}{Q(x)}$

trong đó $P(x)$,$Q(x)$là các đa thức và $Q(x) <br> \neq 0$với mọi$x$thuộc tập xác định. Tập xác định của hàm phân thức là tập các giá trị $x$mà $Q(x) <br> \neq 0$.

Ví dụ:$y = \frac{2x+1}{x^2-4}$là một hàm phân thức, trong đó $P(x) = 2x+1$,$Q(x) = x^2-4$và tập xác định là $\{x | x^2-4 <br> \neq 0\} = \{x | x <br> \neq 2, x <br>eq -2\}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Cùng xét hàm số sau:$y = \frac{2x-3}{x+1}$

• Bước 1: Xác định tập xác định
• - Tìm giá trị $x$khiến mẫu số bằng 0:$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$
• - Vậy tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$
• Bước 2: Tìm tiệm cận đứng
• - Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 mà tử số khác 0:$x = -1$
• Bước 3: Tìm tiệm cận ngang
• - Xét bậc tử và bậc mẫu: tử và mẫu đều bậc 1.
• - Tiệm cận ngang:$y = \frac{2}{1} = 2$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu bậc tử < bậc mẫu: Tiệm cận ngang là $y = 0$(chục hoành).
- Nếu bậc tử = bậc mẫu: Tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{b}$với$a$và $b$là hệ số cao nhất của tử và mẫu.
- Nếu bậc tử > bậc mẫu: Không có tiệm cận ngang, có thể có tiệm cận xiên.

Phải chú ý mẫu số $Q(x)$không được bằng 0 trong tập xác định, nếu bỏ qua bước này sẽ gây ra sai sót khi vẽ đồ thị và tìm tiệm cận.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm phân thức là sự kết hợp giữa hai đa thức, ứng dụng rộng rãi trong giải tích để khảo sát giới hạn, đạo hàm và tích phân. Trong các bài toán đại học và thi THPT Quốc gia, kiến thức về hàm phân thức còn liên quan đến phương trình, bất phương trình, và nghiên cứu tương tác giữa các hàm số.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{x^2-1}{x^2-4}$

Giải: $x^2-4 = 0 \Rightarrow x = 2$, $x = -2$. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2;-2\}$

Bài 2: Tìm tiệm cận của hàm số $y=\frac{3x^2 + 5}{2x^2 - 7}$

Giải:
- Tiệm cận đứng: $2x^2-7=0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$
- Tiệm cận ngang: Vì bậc tử = bậc mẫu, tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$

Bài 3: Khảo sát giới hạn tại vô cực của hàm$y=\frac{5x-1}{x+2}$

Giải:
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5x-1}{x+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}} = 5$
Hàm có tiệm cận ngang$y=5$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên loại các giá trị khiến mẫu số bằng 0 ra khỏi tập xác định.
• Xác định sai kiểu tiệm cận (đứng/ngang/xiên) do không chú ý bậc tử và mẫu.
• Nhầm lẫn giữa giới hạn tại vô cực với giá trị hàm số.
• Quên kiểm tra điều kiện$Q(x) <br> \neq 0$trước khi làm các bước tiếp theo.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm phân thức có dạng$y=\frac{P(x)}{Q(x)}$,$Q(x) <br> \neq 0$.
• Tập xác định: Loại những$x$làm$Q(x)=0$.
• Tiệm cận đứng: Nghiệm của$Q(x)=0$, với$P(x) <br> \neq 0$tại đó.
• Tiệm cận ngang: Xét bậc tử và bậc mẫu, nhớ cách xác định.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi làm các bước khác.

Học tốt hàm phân thức giúp giải nhanh các bài tập khảo sát, vẽ đồ thị và các vấn đề thực tế, là nền tảng vững chắc tiến xa hơn trong giải tích và đại số.