Blog

Lớp 12

Hàm phân thức: Khái niệm, Tính chất và Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu chung về hàm phân thức trong Toán 12

Trong chương trình toán học lớp 12, "hàm phân thức" là một khái niệm then chốt liên quan đến khảo sát, vẽ đồ thị, tìm tiệm cận, xét đạo hàm và ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế. Nắm vững hàm phân thức giúp học sinh tự tin giải quyết các bài tập và các đề thi THPT Quốc gia, đồng thời hình thành nền tảng vững chắc cho việc tiếp cận giải tích ở đại học.

2. Định nghĩa chính xác hàm phân thức

Hàm phân thức là hàm số có dạng f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, trong đó:

  • P(x)P(x), Q(x)Q(x)là các đa thức (bậcmmvà nnlần lượt) vớiQ(x)Q(x) <br>eq<br>eq 0.
  • Tập xác định của hàm phân thức là: D={x∈R ∣ Q(x)<br>≠0}D = \{x \in \mathbb{R} ~|~ Q(x) <br> \neq 0 \}
  • Hàm phân thức thường xét với P(x)P(x), Q(x)Q(x) không có ước chung khác hằng số để tránh đơn giản quá mức.

    • Phân biệt: Nếu tử và mẫu là đa thức, hàm số gọi là hàm phân thức đại số; trong chương trình phổ thông chỉ xét trường hợp này.

    3. Giải thích cụ thể với ví dụ minh họa

    Xét ví dụ sau đây:

    Ví dụ 1: f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}

  • Tử số: 2x+12x+1 là đa thức bậc 1.
  • Mẫu số: x−3x-3là đa thức bậc 1,x<br>≠3x <br> \neq 3.
  • Tập xác định: D=R∖{3}D = \mathbb{R} \setminus \{ 3 \}

    • Ví dụ 2: g(x)=x2−4x2−1g(x) = \frac{x^2-4}{x^2-1}

  • Phân tích: x2−4=(x−2)(x+2),\x2−1=(x−1)(x+1)x^2-4 = (x-2)(x+2),\x^2-1 = (x-1)(x+1)
  • Tập xác định: D=R∖{−1;1}D = \mathbb{R} \setminus \{ -1; 1 \}
  • Hàm này có thể tối giản hơn nếu có ước chung ở tử và mẫu.

    • 4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu tử số và mẫu số cùng bậc, hàm có tiệm cận ngang là tỉ số hệ số cao nhất của tử và mẫu.
  • Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu: hàm có tiệm cận ngang là y=0y=0.
  • Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu: hàm không có tiệm cận ngang, xét tiệm cận xiên bằng phép chia đa thức.
  • Nếu tử và mẫu đều chứa nghiệm chung có thể rút gọn, cần xác định rõ điểm loại khỏi tập xác định.

    • Lưu ý: Luôn xác định tập xác định trước khi khảo sát hàm số.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Liên quan đến đa thức: Tử và mẫu là đa thức.
  • Liên quan đến đạo hàm, khảo sát hàm số: Dựa trên tập xác định, tiệm cận, cực trị, đơn điệu.
  • Đồ thị: Vẽ đồ thị hàm phân thức dựa vào tiệm cận đứng, ngang/xiên và các điểm đặc biệt.
  • Giải phương trình, bất phương trình chứa phân thức.

    • 6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Khảo sát tập xác định hàm số y=2x+5x2−4y = \frac{2x+5}{x^2-4}

  • Tử số: 2x+52x+5, mẫu số: x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2)
  • Điều kiện: x2−4<br>≠0→x<br>eq2,x<br>eq−2x^2-4 <br> \neq 0 \rightarrow x <br>eq 2, x <br>eq -2.
  • Tập xác định: D=R∖{−2;2}D = \mathbb{R} \setminus \{ -2; 2 \}

    • Bài tập 2: Xác định tiệm cận ngang của f(x)=3x2+2x2−1f(x) = \frac{3x^2+2}{x^2-1}

    • Bậc tử = bậc mẫu, tiệm cận ngang là tỉ số hệ số cao nhất: y=31=3y = \frac{3}{1} = 3.

    Bài tập 3: Cho hàm số y=x+1x−1y = \frac{x+1}{x-1}. Hãy xét sự biến thiên và tìm tiệm cận đứng, ngang.

  • Tập xác định: D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}.
  • Tiệm cận đứng: x=1x=1.
  • Tiệm cận ngang: Tử số và mẫu số bậc 1, tiệm cận ngang y=1y=1.
  • Sự biến thiên:
  • Tính đạo hàm: y′=(x−1)⋅1−(x+1)⋅1(x−1)2=x−1−x−1(x−1)2=−2(x−1)2y' = \frac{(x-1) \cdot 1 - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}
  • Vì (x−1)2>0(x-1)^2 > 0vớix<br>≠1x <br> \neq 1nêny′<0y' < 0, hàm luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

    • 7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Quên xác định tập xác định của hàm số (thường bỏ sót mẫu số bằng 0).
  • Chưa tối giản phân thức trước khi khảo sát hoặc giải phương trình.
  • Xét tiệm cận ngang/xiên sai do không xác định đúng bậc tử và bậc mẫu.
  • Nhầm lẫn khi đạo hàm phân thức (cần sử dụng quy tắc đạo hàm của thương).

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Hàm phân thức là tỷ số của hai đa thức, mẫu số khác 0.
  • Tập xác định luôn phải là tập các giá trị làm mẫu khác 0.
  • Phân biệt tiệm cận đứng (mẫu số bằng 0), tiệm cận ngang/xiên dựa vào bậc tử và mẫu.
  • Để khảo sát hàm phân thức, cần chú ý đến rút gọn, xác định, đạo hàm, tiệm cận và đồ thị.

    • Nắm chắc hàm phân thức, học sinh sẽ dễ dàng giải quyết các bài toán trong chương trình Toán 12 và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".