Blog

Lớp 12

Hàm phân thức: Khái niệm, cách xác định và ví dụ minh họa cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của hàm phân thức

Trong chương trình Toán học lớp 12, hàm phân thức là một trong những khái niệm cơ bản và có vai trò rất quan trọng, đặc biệt trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Nắm vững các tính chất, dạng đặc biệt và cách ứng dụng của hàm phân thức sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán về đồ thị, GTLN-GTNN, phương trình, bất phương trình cũng như chuẩn bị cho các kỳ thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa hàm phân thức

Hàm phân thức là hàm số có dạng:

y=P(x)Q(x)y = \frac{P(x)}{Q(x)}
Trong đó:

  • P(x)P(x)và Q(x)Q(x)là các đa thức.
  • Q(x)≠0Q(x) \neq 0.

    • Vậy, hàm phân thức là tỉ số giữa hai đa thức khác không. Điểm đặc biệt cần chú ý là mẫu số Q(x)Q(x)không được bằng00 để hàm số có nghĩa.

    3. Phân loại hàm phân thức và ví dụ minh họa

    Hàm phân thức có thể chia thành các dạng chính:

  • - Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:y=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d}
  • - Hàm phân thức bậc nhất trên bậc hai:y=ax+bcx2+dx+ey = \frac{ax + b}{cx^2 + dx + e}
  • - Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất:y=ax2+bx+cdx+ey = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}
  • - Hàm phân thức bậc hai trên bậc hai:y=ax2+bx+cdx2+ex+fy = \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}

    • Ví dụ minh họa:

  • 1.y=2x+3x−1y = \frac{2x + 3}{x - 1}là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
  • 2.y=x2−1x2+1y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}là hàm phân thức bậc hai trên bậc hai.
  • 3.y=x+2x2−4y = \frac{x + 2}{x^2 - 4}là hàm phân thức bậc nhất trên bậc hai.
  • 4.y=x2−xx+2y = \frac{x^2 - x}{x + 2}là hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất.

    • 4. Ý nghĩa hình học, xác định tập xác định và các đặc điểm nổi bật của hàm phân thức

    Tập xác địnhDDcủa hàm phân thứcy=P(x)Q(x)y = \frac{P(x)}{Q(x)}là tập hợp tất cả các giá trị xxsao choQ(x)≠0Q(x) \neq 0.

    Cách tìm tập xác định:
    - Giải phương trìnhQ(x)=0Q(x) = 0
    - Loại bỏ các nghiệm này khỏi tập số thựcR\mathbb{R}

    Ví dụ: Xác định tập xác định của y=2x+3x−1y = \frac{2x + 3}{x - 1}:
    - Q(x)=x−1=0⇒x=1Q(x) = x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
    - D=R∖{1}D = \mathbb{R} \setminus \{1\}

    Các đặc điểm nổi bật khác:

  • Có thể có tiệm cận đứng (nơi mẫu số bằng 0) và tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên (phụ thuộc bậc tử và bậc mẫu).
  • Có thể xác định giới hạn, tính đơn điệu, cực trị,... tùy mục đích yêu cầu bài toán.

    • 5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi giải bài toán về hàm phân thức

  • - NếubậcP(x)<bậcQ(x)bậc P(x) < bậc Q(x): Hàm số có tiệm cận ngang là y=0y = 0.
  • - NếubậcP(x)=bậcQ(x)bậc P(x) = bậc Q(x): Tiệm cận ngang là y=aby = \frac{a}{b}vớia,ba, blà hệ số củaxxcó bậc cao nhất trong tử và mẫu.
  • - NếubậcP(x)>bậcQ(x)bậc P(x) > bậc Q(x): Không có tiệm cận ngang, có thể có tiệm cận xiên.
  • - Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải các bài toán về hàm phân thức.
    • Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = 2x/(x-1) với tập xác định x ≠ 1, minh họa tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2, giới hạn hai bên tại x→1± và sự biến thiên (f'(x) = -2/(x-1)² < 0).
    Đồ thị hàm số y = 2x/(x-1) với tập xác định x ≠ 1, minh họa tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2, giới hạn hai bên tại x→1± và sự biến thiên (f'(x) = -2/(x-1)² < 0).
    Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = (2x+1)/(x-1) với tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=2, điểm giao với Ox tại A(-0.5, 0) và minh họa f'(x)<0 cho thấy hàm luôn giảm
    Đồ thị hàm số y = (2x+1)/(x-1) với tiệm cận đứng x=1, tiệm cận ngang y=2, điểm giao với Ox tại A(-0.5, 0) và minh họa f'(x)<0 cho thấy hàm luôn giảm

    6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Hàm phân thức là sự mở rộng tự nhiên của đa thức. Phân thức là cơ sở để học các khái niệm như giới hạn, đạo hàm, tích phân, và liên quan trực tiếp đến việc xét tiệm cận, khảo sát đồ thị hàm số. Đặc biệt, các bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa phân thức cũng là ứng dụng quan trọng.

    7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

  • Bài tập 1: Xác định tập xác định củay=2x+1x2−4y = \frac{2x+1}{x^2-4}.
  • Lời giải: Q(x)=x2−4=(x−2)(x+2)=0⇔x=2Q(x) = x^2-4 = (x-2)(x+2) = 0 \Leftrightarrow x = 2hoặcx=−2x = -2.
    Vậy tập xác định D=R∖{−2;2}D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}.
  • Bài tập 2: Tìm tiệm cận ngang củay=3x2+12x2−5y = \frac{3x^2 + 1}{2x^2 - 5}.
  • Lời giải: Bậc tử = bậc mẫu = 2, hệ số bậc cao nhất tử/mẫu:32\frac{3}{2}.
    Vậy tiệm cận ngang là y=32y = \frac{3}{2}.
  • Bài tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=2x+1x−1y = \frac{2x+1}{x-1}.
  • Lời giải hướng dẫn:
    - Tập xác định:x≠1x \neq 1
    - Tiệm cận đứng:x=1x = 1
    - Tiệm cận ngang:y=2y = 2
    - Xét giới hạn trái-phải tạix=1x=1và ở ±∞\pm \infty để nhận dạng đồ thị.
    - Xét sự biến thiên bằng đạo hàm:


    • y′=(2)(x−1)−(2x+1)(1)(x−1)2=2x−2−2x−1(x−1)2=−3(x−1)2y' = \frac{(2)(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}
    ⇒\RightarrowHàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

    8. Các lỗi thường gặp khi học hàm phân thức và cách tránh

  • - Quên điều kiện xác định (không kiểm tra mẫu số khác 0).
  • - Nhầm lẫn giữa bậc của tử và mẫu dẫn tới xác định sai tiệm cận.
  • - Không chú ý dấu của đạo hàm khi xét sự đồng biến/ nghịch biến.
  • - Không phân biệt được gián đoạn vô hạn và gián đoạn rỗng hoặc bỏ qua nghiệm kép mẫu số.
  • - Không rút gọn phân thức trước khi kiểm tra đặc điểm hình học.

    • 9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ về hàm phân thức

    - Hàm phân thức là dạng hàm số có tử số và mẫu số đều là đa thức.
    - Điều kiện xác định quan trọng nhất là mẫu khác 0.
    - Phân loại bậc phân thức để xác định tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, và tiệm cận xiên chính xác.
    - Làm chủ kỹ năng khảo sát, tổng hợp các đặc điểm sẽ giúp bạn giải quyết tốt các dạng bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia liên quan đến môn Toán.
    - Hãy luyện tập nhiều và luôn kiểm tra điều kiện xác định đầu tiên khi gặp hàm phân thức!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".