1. Giới thiệu về khái niệm hàm phân thức và tầm quan trọng

Hàm phân thức là một trong những khái niệm trọng tâm của chương trình toán học lớp 12 cũng như đại số và giải tích. Việc nắm vững kiến thức về hàm phân thức không chỉ giúp học sinh hiểu sâu về các loại hàm số mà còn tạo nền tảng để học các chủ đề nâng cao như đạo hàm, khảo sát đồ thị, giải phương trình – bất phương trình liên quan, và vận dụng trong giải toán thực tế cũng như các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa hàm phân thức

Hàm phân thức là hàm số có dạng tỉ số giữa hai đa thức, cụ thể:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

Trong đó $P(x)$và $Q(x)$là hai đa thức với$Q(x) <br> \neq 0$. Điều kiện xác định của hàm phân thức là các giá trị $x$sao cho$Q(x) <br> \neq 0$. Nếu$\deg Q(x) = 1$ta gọi là hàm phân thức bậc nhất/mẫu số bậc nhất, nếu$\deg Q(x) \geq 2$thì máy phân tích tiếp thành các dạng bậc cao hơn.

3. Bước giải thích từng thành phần với ví dụ minh họa

Giả sử cho hàm phân thức sau:

$y = \frac{2x+3}{x-1}$

* Tử số $2x+3$là đa thức bậc nhất

* Mẫu số $x-1$là đa thức bậc nhất. Hàm xác định khi$x-1<br>eq0 \Rightarrow x<br>eq1$.

- Nếu$x\to 1^-$hoặc$x\to 1^+$, tử số hữu hạn, mẫu số tiệm cận 0, nên hàm phân thức có "tiệm cận đứng" tại$x=1$.

- Nếu$x\to +\infty$hoặc$x\to-\infty$:

$<br />\lim\limits_{x\to\infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim\limits_{x\to\infty} \frac{2+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}} = 2<br />$

=> Hàm có tiệm cận ngang là $y=2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu$\deg P(x) < \deg Q(x)$: Hàm phân thức có tiệm cận ngang tại$y=0$.

- Nếu$\deg P(x) = \deg Q(x)$: Hàm phân thức có tiệm cận ngang tại$y=\frac{a}{b}$, với$a,b$là hệ số cao nhất của tử số và mẫu số.

- Nếu$\deg P(x) > \deg Q(x)$: Không có tiệm cận ngang mà có tiệm cận xiên (nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị).

Lưu ý: Hàm phân thức không xác định tại các nghiệm của$Q(x)=0$.
Ví dụ:$y = \frac{3x-1}{x^2-4}$xác định khi$x<br> \neq -2,2$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hàm phân thức liên hệ mật thiết với các chủ đề:

• Đa thức: Coi$P(x)$và $Q(x)$là đa thức.
• Khảo sát hàm số: Tìm miền xác định, tiệm cận đứng, ngang, xiên, cực trị, v.v.
• Đạo hàm: Tính đạo hàm giúp học sinh tìm cực trị và xét tính đồng biến, nghịch biến.
• Phương trình – Bất phương trình chứa phân thức.

6. Bài tập mẫu (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Xác định tập xác định của hàm số $f(x) = \frac{2x-5}{x^2 - 4}$.

Giải: Ta có $x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$hoặc$x = -2$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R} \backslash \{-2, 2\}$.

Bài 2: Tìm tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{3x^2-2x+1}{x^2+5}$.

Giải: Vì bậc tử bằng bậc mẫu (đều bậc 2), tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$.

Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$.

Giải:

• Tập xác định:$x <br> \neq 2$.
• Tiệm cận đứng:$x = 2$.
• Tiệm cận ngang:$y=1$.
• Giao Ox:$x+1=0\to x=-1$.
• Giao Oy:$x=0\to y=-\frac{1}{2}$.

Dựa vào các yếu tố trên, bạn phác họa đồ thị hàm số trên trục tọa độ và chú ý vị trí các tiệm cận, giao điểm.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên loại khỏi tập xác định các giá trị làm$Q(x)=0$.
• Không xét kỹ tiệm cận đứng và ngang.
• Nhầm lẫn khi tìm tiệm cận xiên: Chỉ xuất hiện nếu$\deg P(x) = \deg Q(x)+1$.
• Quên tìm giao Ox (bằng cách giải$P(x)=0$), Oy (bằng cách tính$f(0)$nếu xác định).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm phân thức là tỉ số hai đa thức.
• ĐKXĐ:$Q(x)<br>eq0$khi$x$thuộc miền xác định.
• Tiệm cận đứng: các nghiệm của$Q(x)=0$.
• Tiệm cận ngang phụ thuộc vào bậc tử và bậc mẫu.
• Tiệm cận xiên: chỉ khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị.
• Áp dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên, tìm cực trị.
• Luôn kiểm tra giá trị không xác định và vẽ đúng đặc điểm đồ thị.