Blog

Lớp 12

Hàm số liên tục: Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

Hàm số liên tục: Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

Hàm số liên tục là một trong những khái niệm nền tảng của giải tích, đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng như tốt nghiệp THPT Quốc gia. Việc hiểu kỹ về hàm số liên tục không chỉ giúp bạn nắm vững các bài toán liên quan mà còn là chìa khóa để học tốt các chủ đề như đạo hàm, tích phân, giới hạn,... Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ về khái niệm "liên tục", cách chứng minh một hàm số liên tục tại một điểm, luyện tập với các bài tập mẫu và tránh các lỗi thường gặp.

1. Khái niệm hàm số liên tục và tầm quan trọng

Trong toán học, khái niệm "liên tục" mô tả sự thay đổi đều đặn của một hàm số mà không có sự "đứt quãng". Nói một cách đơn giản, khi vẽ đồ thị của hàm số y=f(x)y = f(x), nếu bạn vẽ liền một nét từ trái sang phải mà không phải nhấc bút lên ở bất kỳ điểm nào, tức là hàm số đó "liên tục" trên miền xác định. Hàm số liên tục là nền tảng để học các khái niệm giới hạn, đạo hàm và tích phân – những chủ đề trọng tâm trong giải tích lớp 12.

2. Định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x)f(x) được gọi là liên tục tại điểmx0x_0nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

  • 1. f(x0)f(x_0)xác định.
  • 2. lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0} f(x)tồn tại.
  • 3. lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).

    • Nói cách khác, giá trị hàm số tạix0x_0 đúng bằng giới hạn của hàm số khixxtiến dần đếnx0x_0.

    3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Xét hàm số f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1tạix0=1x_0 = 1.

  • -f(1)=2×1+1=3⇒f(1) = 2 \times 1 + 1 = 3\quad \RightarrowXác định.
  • -lim⁡x→1(2x+1)=2×1+1=3\lim\limits_{x \to 1} (2x + 1) = 2 \times 1 + 1 = 3tồn tại.
  • -lim⁡x→1f(x)=f(1)\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1).

    • => Hàm số f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1liên tục tại mọi điểm trên tập xác định.

    Ví dụ 2: Xét hàm số f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}tạix0=1x_0 = 1.

  • -f(1)f(1)không xác định (vì mẫu số bằng 0).
  • -lim⁡x→1x2−1x−1=lim⁡x→1(x−1)(x+1)x−1=lim⁡x→1(x+1)=2\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}= \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2.

    • => Do f(1)f(1) không xác định nên hàm số này \textbf{không liên tục} tại x=1x = 1 .

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi xét tính liên tục

  • - Hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit,... đều liên tục trên từng khoảng chúng được xác định.
  • - Hàm phân thức như f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}chỉ liên tục với nhữngxxlàm mẫu số Q(x)Q(x)khác 0.
  • - Các điểm khiến hàm số không xác định, hoặc phải kiểm tra lại giá trị giới hạn (ví dụ: dạng00\frac{0}{0}) là điểm đặc biệt cần chú ý.
  • - Hàm số có thể không liên tục tại điểm \'nối' giữa hai nhánh (hàm từng đoạn).

    • Có 3 loại gián đoạn chủ yếu:

  • 1. Gián đoạn loại I (gián đoạn có thể loại bỏ): Giới hạn tồn tại nhưng giá trị hàm số không xác định hoặc khác giới hạn.
  • 2. Gián đoạn loại II (gián đoạn nhảy): Giới hạn bên trái và bên phải tại điểm đó không bằng nhau.
  • 3. Gián đoạn loại III (gián đoạn vô hạn): Giới hạn tại điểm đó là vô hạn.

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • - Hàm số liên tục là tiền đề để xét đạo hàm. Nếu hàm số không liên tục tại một điểm thì không thể lấy đạo hàm tại điểm đó.
  • - Định lý giá trị trung gian: Nếuf(x)f(x)liên tục trên[a;b][a;b]và f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0thì tồn tại ít nhất mộtc∈(a;b)c \in (a;b)sao chof(c)=0f(c)=0.
  • - Tích phân xác định chỉ áp dụng được cho các hàm số liên tục trên đoạn[a;b][a;b]

    • 6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài 1: Chứng minh hàm số f(x)=3x2−2x+5f(x) = 3x^2 - 2x + 5liên tục tạix=2x = 2.

  • -f(2)=3×4−2×2+5=12−4+5=13f(2) = 3 \times 4 -2 \times 2 +5 = 12 - 4 + 5 = 13
  • -lim⁡x→2(3x2−2x+5)=3×4−4+5=13\lim\limits_{x\to2} (3x^2 - 2x +5) = 3 \times 4 -4 +5 = 13
  • => Hàm liên tục tạix=2x = 2.

    • Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x)=x2−4x−2f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}tạix=2x=2.

  • -f(2)f(2)không xác định.
  • -lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim\limits_{x \to 2} (x+2) = 4.
  • => Không liên tục tạix=2x = 2.

    • Bài 3: Xét hàm số từng đoạn f(x)={x+2neˆˊux<12xneˆˊux≥1f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{nếu} x < 1 \\ 2x & \text{nếu} x \geq 1 \end{cases} tại x=1x = 1 .

  • -f(1)=2×1=2f(1) = 2 \times 1 = 2
  • -lim⁡x→1−f(x)=1+2=3\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 2 = 3
  • -lim⁡x→1+f(x)=2×1=2\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 2 \times 1 = 2
  • - Vì \lim_{x\to1^-}f(x) \neq \lim_{x\to1^+}f(x) nên hàm số \textbf{không liên tục} tại x=1x=1 .

    • 7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • - Chỉ xét giá trị f(x0)f(x_0)mà không kiểm tra điều kiện giới hạn.
  • - Không chú ý các dạng không xác định (như 00\frac{0}{0},a0\frac{a}{0}...).
  • - Nhầm lẫn giữa “liên tục” và “có đạo hàm”: Không phải hàm liên tục nào cũng có đạo hàm, nhưng hàm có đạo hàm thì chắc chắn liên tục.
  • - Chỉ tính giới hạn mà quên đối chiếu vớif(x0)f(x_0).

    • => Khi giải, hãy luôn viết đủ ba bước: Tínhf(x0)f(x_0), tính giới hạn, so sánh hai kết quả.

    8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • - Hàm số liên tục tạix0x_0khi:f(x0)f(x_0)xác định, giới hạn khix→x0x \to x_0tồn tại, giá trị giới hạn bằngf(x0)f(x_0).
  • - Đa phần các hàm quen thuộc (đa thức, lượng giác, mũ, logarit, phân thức – trên tập xác định) đều liên tục.
  • - Đừng quên kiểm tra các điểm đặc biệt (gián đoạn, hàm từng đoạn...).
  • - Học tốt hàm số liên tục giúp nâng cao kỹ năng giải toán giới hạn, đạo hàm, tích phân và giải các bài toán ứng dụng.

    • Hàm số liên tục là viên gạch nền tảng cho cả giải tích. Nắm vững lý thuyết này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài tập và đạt điểm cao trong các kỳ thi!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".