Hàm tốc độ – Khái niệm, ứng dụng và bài tập chi tiết trong Toán lớp 12

Giới thiệu về hàm tốc độ và tầm quan trọng trong Toán lớp 12

Trong giải tích - chương trình Toán lớp 12, "hàm tốc độ" là một khái niệm quan trọng, kết nối giữa đạo hàm, chuyển động và ứng dụng thực tiễn. Việc hiểu rõ hàm tốc độ giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học, phục vụ tốt cho việc giải các bài toán về chuyển động trong đề thi THPT Quốc gia và ứng dụng vào vật lý cũng như các ngành khoa học khác.

Định nghĩa hàm tốc độ

Xét một chuyển động thẳng với phương trình vị trí:$s = s(t)$, trong đó $s$là vị trí vật chuyển động tại thời điểm$t$. Khi đó, hàm tốc độ $v(t)$ được định nghĩa là đạo hàm của hàm số vị trí theo thời gian:

$v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$

Về mặt ý nghĩa,$v(t)$cho biết vận tốc (tốc độ kèm hướng chuyển động) của vật tại thời điểm$t$, đồng thời thể hiện mức độ thay đổi của vị trí theo thời gian.

Các bước xác định hàm tốc độ

Để xác định hàm tốc độ từ hàm vị trí $s(t)$, các bước cụ thể như sau:

• Bước 1: Xác định hàm vị trí $s = s(t)$(phụ thuộc vào đề bài).
• Bước 2: Tính đạo hàm$s'(t)$theo$t$.
• Bước 3: Kết quả chính là hàm tốc độ $v(t)$.

Lưu ý: Nếu vận tốc có giá trị âm, vật chuyển động ngược chiều dương của trục tọa độ.

Ví dụ minh họa chi tiết về hàm tốc độ

Ví dụ 1: Xét một vật chuyển động theo phương trình vị trí $s(t) = 3t^2 + 2t + 5$(đơn vị: mét,$t$tính bằng giây).

Hãy xác định hàm tốc độ $v(t)$, và tính tốc độ tại$t = 2$giây.

Giải:

1. Tính đạo hàm của$s(t)$:
   $s'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 5) = 6t + 2$
   
   => Hàm tốc độ là $v(t) = 6t + 2$.
2. Tốc độ tại$t = 2$:
   $v(2) = 6 \times 2 + 2 = 14\text{(m/s)}$

Kết luận: Vận tốc tại$t = 2$giây là $14$m/s, vật chuyển động theo chiều dương của trục tọa độ vì $v(2) > 0$.

Trường hợp đặc biệt & lưu ý khi áp dụng hàm tốc độ

• Nếu$v(t) = 0$tại một thời điểm: Vật dừng lại (đổi chiều hoặc đứng yên tạm thời).
• Nếu$v(t) > 0$: Vật chuyển động theo chiều dương.
• Nếu$v(t) < 0$: Vật chuyển động theo chiều âm.

Lưu ý khi giải toán:
- Chú ý đơn vị khi tính vận tốc.
- Xác định cận thời gian đúng trong các bài toán tích phân liên quan.
- Phân biệt "vận tốc" (hàm tốc độ) với "tốc độ" (giá trị tuyệt đối của vận tốc:$|v(t)|$).

Liên hệ hàm tốc độ với các khái niệm toán học khác

Hàm tốc độ (vận tốc) là đạo hàm bậc nhất của vị trí $s(t)$. Đạo hàm bậc hai của$s(t)$chính là gia tốc$a(t) = s''(t) = v'(t)$. Ngược lại, nếu biết vận tốc$v(t)$, ta có thể hồi ngược trở lại vị trí qua tích phân:

$s(t)$=$\int$v(t)dt + C

Hơn nữa, trong vật lý, tổng quãng đường đi được trên một khoảng thời gian được tính qua tích phân của tốc độ: S =$\int$_{a}^{b} |v(t)|dt

Bài tập mẫu về hàm tốc độ (có lời giải chi tiết)

Bài 1: Một vật chuyển động có phương trình vị trí $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$($s$tính bằng mét,$t$tính bằng giây).

1. Xác định hàm tốc độ $v(t)$.
2. Tìm thời điểm vật dừng lại lần đầu tiên.
3. Tính quãng đường vật đi được từ $t = 0$ đến$t = 4$.

Giải:

1. Hàm tốc độ là $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$.
2. Vật dừng lại khi $v(t) = 0$ :
   
   $$3t^2 - 12t + 9 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow (t-1)(t-3) = 0 \Rightarrow t = 1\text{hoặc} t = 3$$
   
   Vật dừng lại lần đầu tiên tại $t = 1$ (giây).
3. Tính quãng đường đi từ $t=0$ đến$t=4$:
   Chia đoạn$[0,4]$thành các khoảng mà vận tốc không đổi dấu:
   -$t=0 \rightarrow 1$,$v(t) > 0$
   -$t=1 \rightarrow 3$,$v(t) < 0$
   -$t=3 \rightarrow 4$,$v(t) > 0$
   
   Tính vị trí tại các điểm:
   $s(0) = 2,\s(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6,\s(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2,\s(4) = 64 - 96 + 36 + 2 = 6$
   
   Tính quãng đường từng đoạn:
   -$0 → 1$:$|s(1) - s(0)| = |6 - 2| = 4$
   -$1 → 3$:$|s(3) - s(1)| = |2 - 6| = 4$
   -$3 → 4$:$|s(4) - s(3)| = |6 - 2| = 4$
   
   Tổng cộng:$4 + 4 + 4 = 12$(mét)

Đáp số: Quãng đường từ $t=0$ đến$t=4$là $12$mét.

Các lỗi thường gặp khi làm bài toán hàm tốc độ và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa vận tốc (có thể âm) và tốc độ (luôn dương). Khi tính quãng đường thực tế phải lấy giá trị tuyệt đối.
• Quên đổi đơn vị thời gian, vị trí, vận tốc – cần thống nhất đơn vị trước khi tính.
• Chưa phân tích đủ các mốc vật dừng lại khi chia đoạn tính quãng đường.
• Không kiểm tra hoặc bỏ sót các nghiệm âm hoặc bất hợp lý khi tìm thời điểm dừng lại.

Tóm tắt và những điểm chính cần nhớ về hàm tốc độ

• Hàm tốc độ là đạo hàm của hàm vị trí theo thời gian:$v(t) = s'(t)$.
• Vận tốc có thể âm, dương hoặc bằng 0 tùy hướng chuyển động.
• Quãng đường là tổng giá trị tuyệt đối của các đoạn vận tốc cộng dồn.
• Biết hàm vận tốc có thể tìm lại vị trí bằng tích phân.
• Cẩn thận các mốc thời gian vật dừng lại khi chia đoạn giải toán.