Hướng dẫn giải Bài tập cuối Chương II – Toán 12

Bài tập cuối Chương II trong chương trình Toán 12 thường tập hợp các dạng bài quan trọng về phép tính đạo hàm, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững các dạng bài này không chỉ giúp học sinh hệ thống lại kiến thức của Chương II mà còn là nền tảng vững chắc cho các ứng dụng trong chương sau và trong kỳ thi quan trọng.

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của Bài tập cuối Chương II

Bài tập cuối Chương II giúp học sinh củng cố và kết nối kiến thức về đạo hàm và ứng dụng. Đây là những bài tập tổng hợp, đòi hỏi kỹ năng tính toán chính xác, khả năng phân tích hàm số và vận dụng linh hoạt các định lý đã học. Bài tập này cũng góp phần rèn luyện tư duy phản biện và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách logic.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

“Bài tập cuối Chương II” là tập hợp các bài toán được đặt ở cuối Chương II của sách giáo khoa Toán 12, bao gồm các dạng:
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)$và vẽ đồ thị.
- Tìm cực đại, cực tiểu và tiệm cận.
- Ứng dụng đạo hàm vào giải bài toán thực tiễn.
Các bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng định nghĩa đạo hàm, bảng biến thiên và các phương pháp giải bài toàn toán học với mức độ tổng quát cao hơn.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ phân tích ví dụ tiêu biểu: khảo sát hàm số $f(x)=x^3-3x+2$

Bước 1: Tính đạo hàm
Áp dụng công thức$(x^n)'=nx^{n-1}$ta có:
$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)

Bước 2: Giải phương trình$f'(x)=0$
$3(x^2-1)=0\,a x^2=1a x= \pm 1$

Bước 3: Bảng biến thiên
- Với$x<-1$,$x^2-1>0\ra f'(x)>0$(hàm đồng biến).
- Với$-1<x<1$,$x^2-1<0\ra f'(x)<0$(hàm nghịch biến).
- Với$x>1$,$x^2-1>0\ra f'(x)>0$(hàm đồng biến).

Bước 4: Tìm cực trị
- Tại$x=-1$:$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2= -1+3+2=4$(cực đại).
- Tại$x=1$:$f(1)=1-3+2=0$(cực tiểu).

Bước 5: Vẽ đồ thị và xác định tiệm cận
Hàm đa thức bậc ba không có tiệm cận ngang hoặc xiên. Tổng hợp bảng biến thiên để dựng đồ thị.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Với hàm phân thức, cần lưu ý xác định tập xác định trước khi tính đạo hàm.
- Với hàm chứa căn hoặc logarithm, kiểm tra điều kiện xác định (ví dụ $x>0$với$\ln x$).
- Đối với hàm phân đoạn, khảo sát đạo hàm trên từng miền và kiểm tra liên tục tại điểm nối.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Giới hạn (Chương I): đạo hàm được định nghĩa bằng giới hạn$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
- Tích phân (Chương III): biết khảo sát hàm để tính diện tích hoặc thể tích bằng phương pháp tích phân.
- Hình học tọa độ: đồ thị hàm số gắn liền với vị trí các điểm cực trị, tiết diện hình học trong không gian.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài mẫu 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $g(x)=x^3-6x^2+9x+1$
Giải:
1)$g'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$
2)$g'(x)=0a x=1,3$
3) Bảng biến thiên: đồng biến trên$(-\infty,1)$, nghịch biến$(1,3)$, đồng biến$(3,\infty)$
4) Cực đại$g(1)=1-6+9+1=5$, cực tiểu$g(3)=27-54+27+1=1$
5) Vẽ đồ thị dựa vào bảng biến thiên.

Bài mẫu 2: Tìm cực trị của$h(x)=xe^{-x},\quad x>0$
Giải:
1)$h'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$
2)$h'(x)=0a x=1$
3) Với$0<x<1$,$1-x>0a h'>0$; với$x>1$,$1-x<0a h'<0$
4) Cực đại tại$x=1$,$h(1)=e^{-1}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên xác định tập xác định dẫn đến khảo sát sai miền.
- Nhầm dấu trong bảng biến thiên khi phân tích dấu của$f'(x)$.
- Bỏ qua kiểm tra liên tục tại điểm nối với hàm phân đoạn.
- Tính sai đạo hàm của hàm hợp hoặc của hàm mũ và logarit.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Luôn xác định tập xác định của hàm số trước khi làm các bước tiếp theo.
- Tính đạo hàm chính xác, giải phương trình$f'(x)=0$và phân tích dấu.
- Xác định cực đại, cực tiểu và tính giá trị hàm tại các điểm quan trọng.
- Vẽ bảng biến thiên, xác định tiệm cận (nếu có) và dựng đồ thị.
- Luyện tập các dạng bài tập mẫu để tăng tốc độ và độ chính xác.