1. Giới thiệu: Tầm quan trọng của việc ôn tập Bài tập cuối chương II trong các kỳ thi

Chương II: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian đóng vai trò nền tảng trong chương trình Toán lớp 12 nói riêng và kỳ thi THPT Quốc gia nói chung. Các kiến thức của chương này không chỉ xuất hiện trực tiếp dưới dạng bài tập mà còn là tiền đề của hình học giải tích các chương tiếp theo. Việc nắm vững và thành thạo các dạng bài tập cuối chương II là chìa khóa giúp học sinh đạt điểm cao, đồng thời tự tin khi bước vào phòng thi.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Để "ôn thi Bài tập cuối chương II lớp 12" hiệu quả, học sinh cần làm chủ các nội dung sau:

• Định nghĩa và các tính chất của vectơ, phép cộng và phép nhân vectơ với số.
• Biểu diễn vectơ, tính tọa độ và định lý ba điểm thẳng hàng.
• Hệ trục tọa độ Oxyz; khoảng cách giữa hai điểm, tính độ dài đoạn thẳng trong không gian.
• Phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian; các dạng phương trình và điều kiện song song, vuông góc.
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng, giữa hai đường thẳng.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

• Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$:$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$.
• Độ dài đoạn thẳng $AB$: $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
• Tích vô hướng hai vectơ:$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$.
• Điều kiện ba điểm$A, B, C$thẳng hàng:$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$cùng phương (tức tồn tại$k$sao cho$\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}$).
• Phương trình mặt phẳng$\alpha$:$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$với$\vec{n} = (a; b; c)$là vectơ pháp tuyến.
• Đường thẳng đi qua$A(x_0, y_0, z_0)$và có vectơ chỉ phương$\vec{u} = (a; b; c)$:
  
  \[
  \begin{cases}
  \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}
  \\\end{cases}
  \]
• Khoảng cách từ điểm $M(x_1; y_1; z_1)$ đến mặt phẳng$ax + by + cz + d = 0$:
  $d = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
• Điều kiện song song/vuông góc giữa hai đường thẳng (so sánh tỷ lệ thành phần hoặc tích vô hướng bằng 0).

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp

• Dạng 1: Xác định tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng, trung điểm, trọng tâm tam giác.
• Dạng 2: Kiểm tra ba điểm thẳng hàng, kiểm tra tính song song/vuông góc của các vectơ, đường thẳng, mặt phẳng.
• Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước.
• Dạng 4: Tìm khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng.
• Dạng 5: Tìm giao điểm, xác định vị trí tương đối (song song, cắt nhau, vuông góc).
• Dạng 6: Ứng dụng vectơ và hệ tọa độ giải các bài toán hình học không gian.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

Dưới đây là một số chiến lược giúp bạn làm chủ các dạng bài tập trong quá trình ôn thi:

• Đối với các bài tính toán tọa độ – Vẽ hình phụ trợ, ghi nhớ công thức tính nhanh, kiểm tra kết quả bằng cách thay ngược.
• Các bài kiểm tra tính thẳng hàng, song song, vuông góc – Luôn chuyển về kiểm tra tỉ số hoặc tích vô hướng, hạn chế tính nhẩm.
• Bài phương trình đường thẳng/mặt phẳng – Hãy xác định rõ các yếu tố: điểm qua, vectơ chỉ phương (đường thẳng), vectơ pháp tuyến (mặt phẳng).
• Bài toán giao điểm, tìm vị trí tương đối – Thiết lập hệ phương trình, dùng phương pháp thế hoặc chuyển về dạng đại số để giải quyết nhanh hơn.
• Bài toán khoảng cách – Bước đầu xác định đúng dạng, sau đó áp dụng đúng công thức, vẽ hình minh họa hỗ trợ tư duy.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước và lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (Đề thi THPT Quốc Gia 2020):

Cho điểm$A(1;2;3)$và $B(4;0;-1)$. Tính độ dài đoạn thẳng$AB$.

• Lời giải: Áp dụng công thức:
  $|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2} <br>$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2 + ((-1)-3)^2}$<br> = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$

Ví dụ 2 (Đề thi thử 2021):

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng$(P): x-2y+2z-5=0$, và điểm$M(2;-1;1)$. Hãy tính khoảng cách từ $M$ đến$(P)$.

• Lời giải: Áp dụng công thức:
  $d = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
  Với $a=1$, $b=-2$, $c=2$, $d=-5$:
  $d = \frac{|1.2 + (-2).(-1) + 2.1 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|2+2+2-5|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{1}{3}$

Ví dụ 3 (Đề học sinh giỏi tỉnh):

Cho đường thẳng$d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$. Tìm tọa độ giao điểm của$d$với mặt phẳng$(Q): x-y+z-3=0$.

• Tham số hóa:$x=1+2t$,$y=-1-t$,$z=3t$.
  Thay vào$Q$:
  $1+2t - (-1-t) + 3t -3=0 \Rightarrow 1+2t+1+t+3t-3=0 \Rightarrow 6t-1=0 \Rightarrow t=\frac{1}{6}$
  ⇒$x=1+2 \cdot \frac{1}{6}=\frac{4}{3}$,$y=-1-\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$,$z=3 \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{2}$.
  Giao điểm cần tìm là $\left(\frac{4}{3}; -\frac{7}{6}; \frac{1}{2}\right)$.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường gặp trong kỳ thi

• Ghi nhầm dấu các thành phần trong công thức toạ độ (cộng/trừ sai khi tính$x$,$y$,$z$).
• Nhập nhầm vectơ chỉ phương/vectơ pháp tuyến khi viết phương trình đường thẳng/mặt phẳng.
• Quên điều kiện xác định (ví dụ: các mẫu số khác 0 khi viết phương trình tham số).
• Bỏ sót trường hợp nghiệm khi giải hệ phương trình giao điểm.
• Không kiểm tra lại kết quả bằng phép thay ngược hoặc kiểm tra ý nghĩa hình học.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

Để ôn tập "Bài tập cuối chương II lớp 12" hiệu quả, bạn cần lộ trình rõ ràng:

- 2 tuần trước thi: Ôn vững lý thuyết, làm các bài tập cuối chương trong SGK và SBT. Thực hành từ cơ bản đến nâng cao, kiểm tra bằng đề tổng hợp.
- 1 tuần trước thi: Luyện đề thi thử, chấm điểm, phát hiện lỗi sai và rèn lại dạng còn yếu. Tổng hợp công thức, ghi chú lại những lưu ý quan trọng.
- 3 ngày trước thi: Ôn lại lý thuyết trọng tâm và công thức, luyện lại một số đề trắc nghiệm, nghỉ ngơi hợp lý, giữ tâm lý ổn định.

9. Các mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Đọc kỹ đề, gạch chân các dữ kiện quan trọng ngay trên đề thi.
• Vẽ hình phác thảo cho các bài hình học không gian, gắn tọa độ cụ thể để dễ kiểm soát số liệu.
• Với bài tính khoảng cách, kiểm tra các thông số trước khi thay công thức.
• Luôn kiểm tra lại đáp án (nếu thời gian cho phép) bằng cách thay ngược vào đề bài hoặc đối chiếu hình học.
• Ghi nhớ các phép biến đổi cơ bản, lưu ý dạng bài có yếu tố đặc biệt (trung điểm, trọng tâm) để rút ngắn thời gian tính toán.

Kết luận

Chinh phục các dạng "Bài tập cuối chương II lớp 12" đòi hỏi sự chủ động hệ thống hóa kiến thức, luyện tập bài bản và phương pháp làm bài hợp lý. Đừng quên kiểm soát thời gian khi luyện đề và ôn tập kết hợp lý thuyết – thực hành. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả xuất sắc trong kỳ thi sắp tới!