1. Giới thiệu về tầm quan trọng của chương VI trong kỳ thi

Chương VI Toán lớp 12 – thường bao gồm ứng dụng đạo hàm và tích phân – là một trong những trọng tâm quan trọng nhất trong đề thi THPT Quốc gia và các kỳ thi Đại học. Việc thành thạo “ôn thi bài tập cuối chương VI lớp 12” giúp bạn dễ dàng đạt điểm cao ở các dạng bài:

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
• Tìm phương trình tiếp tuyến.
• Tính tích phân, tính diện tích hình phẳng.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Để ôn thi hiệu quả, bạn cần hệ thống lại các kiến thức sau:

• Định nghĩa và khái niệm cơ bản: đạo hàm, nguyên hàm, tích phân.
• Các quy tắc tính đạo hàm: tổng, tích, thương, hợp.
• Quy tắc tính tích phân cơ bản và tích phân từng phần.
• Ứng dụng đạo hàm: khảo sát hàm số, tìm cực trị, điểm uốn.
• Ứng dụng tích phân: tính diện tích, thể tích, độ dài đường cong.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Dưới đây là những công thức thường gặp cùng điều kiện áp dụng:

• Đạo hàm cơ bản:
  $(x^n)'=nx^{n-1},\quad (\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x.$
• Quy tắc tổng, tích, thương:
  $(f+g)'=f'+g',\quad(fg)'=f'g+fg',\quad\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$
• Đạo hàm hàm hợp:
  $(f\circ g)'(x)=f'(g(x)) \cdot g'(x).$
• Nguyên hàm cơ bản:
  $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad \int e^x dx=e^x+C.$
• Tích phân từng phần:
  $\int u dv=uv-\int v du.$
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$và trục hoành:
  $S=\int_a^b f(x)dx.$

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp

Các đề thi thường lồng ghép 4 nhóm chính sau:

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (đạo hàm, cực trị, nghiêm dấu).
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn, trên miền xác định.
• Phương trình tiếp tuyến và hệ thức liên quan (điểm uốn).
• Tích phân và ứng dụng: tính diện tích, thể tích xoay, độ dài đường cong.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

a) Khảo sát hàm số

• Bước 1: Xác định tập xác định$D$.
• Bước 2: Tính$f'(x)$, giải$f'(x)=0$ để tìm điểm tới hạn.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên dựa trên dấu của$f'(x)$.
• Bước 4: Kết luận cực trị, bảng biến thiên, đồ thị phác thảo.

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

• Xét điểm nội và điểm biên (nếu có).
• So sánh giá trị $f(x)$tại các điểm này.
• Đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

c) Phương trình tiếp tuyến

• Tại điểm$x_0$, tính$f'(x_0)$.
• Dùng công thức$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.
• Kiểm tra điều kiện nếu có thêm ràng buộc.

d) Tích phân và ứng dụng

• Chọn phương pháp phù hợp: đổi biến, từng phần.
• Tính nguyên hàm$F(x)$rồi áp dụng$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$.
• Với thể tích xoay:$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2dx$.

6. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
$f(x)=x^3-3x+1.$

Giải:

• Tập xác định:$D=\mathbb{R}$.
• Tính đạo hàm:$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
• Giải$f'(x)=0 \Rightarrow x= \pm 1$.
• Bảng biến thiên:
• – Trên$(-\infty,-1)$:$f'<0$,$f$giảm từ $+\infty$ đến$f(-1)=3$.
• – Trên$(-1,1)$:$f'>0$,$f$tăng từ $3$ đến$f(1)=-1$.
• – Trên$(1,+\infty)$:$f'<0$,$f$giảm từ $-1$xuống$-\infty$.
• Cực đại tại$x=-1$,$f(-1)=3$; cực tiểu tại$x=1$,$f(1)=-1$.
• Phác thảo đồ thị dựa trên bảng biến thiên.

Ví dụ 2. Tính tích phân
$I=\int_0^{\pi} x\sin x\,dx.$

Giải: Dùng tích phân từng phần với $u=x$, $dv=\sin xdx$. Khi đó $du=dx$, $v=-\cos x$.

$I=uv\Big|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}vdu=-x\cos x\Big|_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos xdx.$

$=-\pi\cos \pi-0+\sin x\Big|_0^{\pi}=-(-\pi)+0=\pi.$

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải

- Quên xét điểm biên khi tìm giá trị lớn nhỏ.
- Lập bảng biến thiên sai dấu của$f'(x)$.
- Nhầm lẫn biến số khi đổi biến tích phân.
- Bỏ qua hệ số $\pi$khi tính thể tích xoay.
- Không viết đầy đủ điều kiện xác định hàm số.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

a) 2 tuần trước thi:

• Ôn toàn bộ công thức và quy tắc cơ bản.
• Làm 10 bài tập khảo sát hàm số và 10 bài tập tích phân.
• Rút kinh nghiệm từ các bài sai.

b) 1 tuần trước thi:

• Làm đề thi 2019–2023 có tích phân và đạo hàm.
• Thực hành phác thảo đồ thị nhanh.
• Ôn lại các lỗi thường gặp.

c) 3 ngày trước thi:

• Ôn sơ đồ tư duy các dạng bài.
• Luyện thời gian giải nhanh mỗi dạng (5–7 phút/bài).
• Ôn công thức “cốt lõi” không lẫn lộn.

9. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Luôn viết đầy đủ điều kiện xác định hàm số.
• Khi vẽ bảng biến thiên, chỉ ghi dấu “+”, “–” thay vì giá trị cụ thể.
• Tích phân xác định, tính nguyên hàm trước, sau đó mới thay giới hạn.
• Với tích phân xoay, nhớ hệ số $\pi$và bình phương hàm số.
• Kiểm tra đáp án nhanh bằng phép khảo sát đơn giản tại vài điểm thử.
• Quản lý thời gian: không nên mất quá 10 phút cho một bài tích phân phức tạp.
• Ghi chú nhỏ trên nháp: bảng biến thiên, sơ đồ công thức tổng quát.