1. Giới thiệu: Tầm quan trọng của "Hình Học và Đo Lường" trong kỳ thi lớp 12

Hình học và đo lường là một chủ đề then chốt trong chương trình Toán lớp 12, xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia và các đề thi Đại học. Không chỉ kiểm tra kiến thức lý thuyết, phần này còn đánh giá khả năng vận dụng linh hoạt các phương pháp, tư duy không gian và hình ảnh của học sinh. Nắm chắc Hình học và Đo lường sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các dạng bài khó, tăng điểm số và mở rộng cơ hội vào đại học.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

• Các công thức diện tích và thể tích cơ bản của các hình: tam giác, tứ giác, lăng trụ, hình chóp, hình cầu, hình trụ, hình nón.
• Công thức toạ độ trong không gian (tọa độ điểm, vecto, phương trình mặt phẳng, đường thẳng).
• Quan hệ song song, vuông góc trong không gian; xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng.
• Khoảng cách điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Hình chiếu vuông góc, ứng dụng thực tiễn của hình học không gian.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

Dưới đây là bảng tổng hợp các công thức then chốt. Bạn cần ghi nhớ chính xác và ở mỗi công thức luôn chú ý đến điều kiện áp dụng.

a. Diện tích, thể tích đối với hình khối cơ bản:

• Tam giác: $S= \frac{1}{2} ab \sin C$
• Tứ giác nội tiếp: $S = \frac{1}{4} \sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2}$
• Hình hộp chữ nhật:$V = a \times b \times c$
• Hình chóp đều:$V = \frac{1}{3} S_{đáy} h$
• Hình trụ:$V = \pi r^2h$,$S_{xq}=2\pi rh$
• Hình nón:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$,$S_{xq}=\pi rl$
• Hình cầu:$V= \frac{4}{3}\pi R^3$,$S=4\pi R^2$

b. Công thức Toạ độ không gian:

• Phương trình mặt phẳng:$Ax + By + Cz + D = 0$
• Phương trình đường thẳng:$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$
• Góc giữa hai vectơ:$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
• Khoảng cách từ điểm $M(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng$(Ax + By + Cz + D = 0)$: $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Ghi chú: Luôn kiểm tra điều kiện hình học (điểm thuộc mặt phẳng, đường thẳng, trực giao...) trước khi áp dụng công thức.

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• Tính diện tích, thể tích các khối hình.
• Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, đồng phẳng.
• Tìm góc giữa hai đối tượng hình học.
• Tìm khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau.
• Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng qua điểm, chứa/đi qua/đi vuông góc hoặc song song với đối tượng khác.
• Xác định hình chiếu, bài toán thực tiễn gắn liền đo lường (bóng, chiều cao, độ nghiêng, ...).

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

a. Dạng bài tính diện tích, thể tích:

- Đọc kỹ đề, xác định đúng dạng hình, gọi tên kích thước, xác định diện tích đáy/chiều cao.- Dùng hình vẽ minh hoạ, ký hiệu phác thảo các yếu tố hình học.- Đọc kỹ điều kiện hình học (đều, tam giác vuông, vuông góc, song song, ...).

b. Dạng bài quan hệ song song, vuông góc:

- Chỉ ra vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến đại diện cho các đối tượng.- Sử dụng điều kiện song song (cùng hướng/vectơ tỉ lệ) hoặc vuông góc (tích vô hướng bằng 0).- Nếu khó hình dung, vẽ hình phụ để minh hoạ.

c. Tìm góc, khoảng cách:

- Dùng công thức cosin góc giữa hai vectơ.- Rút ra phương trình từ dữ kiện toạ độ.- Luôn kiểm tra kết quả, không để đáp số >180° hoặc <0°.

6. Bài tập mẫu từ đề thi các năm trước (có lời giải chi tiết)

Bài 1 (Đề thi THPT QG 2023):

Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy$ABCD$là hình vuông cạnh$a$, $SA \perp (ABCD)$, $SA=a \sqrt{2}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Lời giải:

- Diện tích đáy$S_{ABCD}= a^2$.

- Chiều cao $h = SA = a\sqrt{2}$.

- Thể tích: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3}a^2(a\sqrt{2}) = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

Đáp số: $\boxed{\frac{a^3\sqrt{2}}{3}}$

Bài 2 (Đề thi thử Hà Nội 2022):

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho điểm$A(1;2;3)$, mặt phẳng$(P): x - 2y + 2z - 3 = 0$. Tính khoảng cách từ $A$ đến$(P)$.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$d = \frac{|1-2 \cdot 2+2 \cdot 3 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|1-4+6-3|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{0}{3} = 0$

Vậy điểm$A$thuộc mặt phẳng$(P)$. Khoảng cách là $0$.

Bài 3 (Đề thi THPT QG 2020):

Viết phương trình mặt phẳng$(Q)$qua điểm$M(1;2;3)$và song song với mặt phẳng$2x-y+z+4=0$.

Lời giải:

Mặt phẳng$Q$có dạng$2x - y + z + D = 0$($D$cần xác định). Thay tọa độ $M$vào:

$2 \cdot 1 - 2 + 3 + D = 0 \rightarrow 2 - 2 + 3 + D = 0 \Rightarrow D = -3$

Phương trình cần tìm:$2x - y + z - 3 = 0$.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải

• Sử dụng sai công thức thể tích/diện tích do nhầm lẫn chiều cao, lẫn lộn khái niệm đáy/lõi.
• Thiếu kiểm tra điều kiện song song, vuông góc trước khi tính góc/khoảng cách.
• Thay tọa độ hoặc hệ số nhầm vào phương trình mặt phẳng/đường thẳng.
• Không vẽ hình hoặc bỏ qua hình phụ minh hoạ, dẫn đến nhận dạng sai bài toán.
• Đáp số thiếu đơn vị hoặc không kiểm tra lại đáp án thực tế (ví dụ: thể tích âm, khoảng cách âm).

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

a. 2 tuần trước kỳ thi:

• Tổng kết công thức, lập bảng so sánh các dạng hình.
• Ôn tập từng dạng bài, luyện kỹ năng giải nhanh.
• Luyện đề theo chuyên đề, kiểm soát thời gian từng bài.

b. 1 tuần trước thi:

• Tập trung xử lý lỗi từng gặp, chữa các đề đã làm sai.
• Giải đề liên tiếp (tối thiểu 1 đề/ngày).
• Tự kiểm tra tốc độ làm bài, hoàn thiện kỹ thuật trình bày.

c. 3 ngày trước thi:

• Ôn lại toàn bộ công thức, làm một số bài mẫu chốt kiến thức.
• Nghỉ ngơi hợp lý, giữ tinh thần thoải mái, tránh học quá tải.
• Chuẩn bị đồ dùng thi, ngủ sớm.

9. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Dùng sơ đồ tư duy để tổng hợp công thức.
• Luôn vẽ hình và ký hiệu rõ ràng mọi thành phần.
• Ưu tiên giải quyết các ý nhỏ trước để lấy điểm chắc chắn.
• Khi gặp bài lạ, thử thay số đặc biệt để nhận diện quy luật hình học.
• Chia thời gian hợp lý cho từng câu, đừng “chết” quá nhiều thời gian ở một bài khó.
• Kiểm tra lại đáp án: diện tích, thể tích phải lớn hơn 0; tên các đại lượng phải kèm đơn vị.

Chúc bạn ôn thi hiệu quả và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới! Nắm chắc 'Hình học và Đo lường' sẽ giúp bạn tự tin vượt qua mọi thử thách.