1. Giới thiệu: Vì sao phải ôn thi THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT lớp 12?

Chủ đề THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT lớp 12 là phần không thể bỏ qua trong kỳ thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra quan trọng. Với xu hướng đề thi tập trung đánh giá năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn, khả năng vận dụng xác suất & thống kê là yếu tố quyết định điểm số của bạn. Tỷ trọng kiến thức này luôn xuất hiện với 3-5 câu trong đề thi Toán, nhiều khi là "câu cứu điểm" và cũng có dạng vận dụng cao cần kỹ năng tư duy logic.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Khi ôn thi THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT lớp 12, bạn phải trang bị vững vàng các mảng chủ đạo sau:

• • Xác suất cổ điển và các phép đếm (Chỉnh hợp, Tổ hợp, Hoán vị).
• • Biến cố và sự kiện – không gian mẫu, biến cố hợp, giao, đối, xác suất của biến cố.
• • Công thức xác suất – cộng, nhân, xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ và công thức Bayes.
• • Biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối xác suất, kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn.
• • Thống kê – số trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai mẫu, bảng tần số.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

• a) Phép đếm:
• • Hoán vị:$P_n = n!$
• • Chỉnh hợp:$A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
• • Tổ hợp:$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

• b) Các công thức xác suất cơ bản:
• • Xác suất cổ điển:$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$với$\Omega$là không gian mẫu.
• • Xác suất hợp:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• • Xác suất có điều kiện:$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$(với$P(B) > 0$).
• • Công thức xác suất đầy đủ, Bayes:
  
  $P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdot s + P(B_n)P(A|B_n)$
  
  $P(B_i|A) = \dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum\limits_{j=1}^{n} P(B_j)P(A|B_j)}$

• c) Biến ngẫu nhiên rời rạc & Thống kê:
• • Kỳ vọng toán học: $E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$
• • Phương sai:$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
• • Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{Var(X)}$
• • Trung bình mẫu: $\overline{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$
• • Phương sai mẫu: $s^2 = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• • Dạng 1: Bài toán xác suất đơn giản (lấy ngẫu nhiên, xếp thứ tự, chọn tổ, chia nhóm)
• • Dạng 2: Toán xác suất có điều kiện, xác suất đầy đủ và Bayes
• • Dạng 3: Bài toán biến ngẫu nhiên rời rạc, tìm kỳ vọng – phương sai
• • Dạng 4: Các bài toán liên quan đến thống kê mẫu – tính trung bình, trung vị, mốt, phương sai

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

• • Dạng 1: Xác định đúng đối tượng phép đếm, chọn công thức phù hợp (hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp), vẽ sơ đồ cây nếu cần.
• • Dạng 2: Viết rõ không gian mẫu, xác định đúng điều kiện đã xảy ra, dùng công thức xác suất có điều kiện/ đầy đủ/Bayes.
• • Dạng 3: Lập bảng giá trị $x_i$,$P(X = x_i)$, áp dụng công thức tính$E(X)$và $Var(X)$.
• • Dạng 4: Sắp xếp dữ liệu tăng dần, thống kê tần số, tính giá trị đặc trưng theo công thức.

6. Bài tập mẫu từ các đề thi trước – Lời giải chi tiết

Bài 1. (Trích Đề Minh Họa THPT Quốc Gia – Bộ GD&ĐT)

Một hộp có 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên bi đỏ.

Giải:
• Số cách chọn 3 viên bi:$C_{10}^3 = 120$
• Số cách chọn 3 bi toàn xanh:$C_6^3 = 20$
• Số trường hợp còn lại (có ít nhất 1 bi đỏ):$120 - 20 = 100$
• Xác suất:$P = \frac{100}{120} = \frac{5}{6}$.

Bài 2. (Đề thật THPT QG 2022)

Một tổ có 5 nam, 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Xác suất để chọn được 1 nam và 1 nữ?

Giải:
• Tổng số cách chọn 2 người:$C_8^2 = 28$
• Chọn 1 nam và 1 nữ:$C_5^1 \times C_3^1 = 5 \times 3 = 15$
• Xác suất:$P = \dfrac{15}{28}$.

Bài 3. (Các đề tiêu chuẩn)

Biến ngẫu nhiên$X$nhận các giá trị $1,2,3$với xác suất tương ứng$0,2;0,5;0,3$. Tính$E(X)$và $Var(X)$.

Giải:
$E(X) = 1 \times 0,2 + 2 \times 0,5 + 3 \times 0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1$
$E(X^2) = 1^2 \times 0,2 + 2^2 \times 0,5 + 3^2 \times 0,3 = 0,2 + 2 + 2,7 = 4,9$
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4,9 - (2,1)^2 = 4,9 - 4,41 = 0,49$.

Bài 4. (Dạng thống kê)

Dãy số liệu: 2, 5, 2, 3, 4, 3, 5, 4, 4, 3. Tính trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai mẫu.

Giải:
• Sắp xếp: 2,2,3,3,3,4,4,4,5,5
• Trung bình:$\overline{x} = \frac{2+2+3+3+3+4+4+4+5+5}{10} = \frac{35}{10} = 3,5$
• Trung vị:$\frac{n}{2} = 5$, trung vị là số trung bình giữa vị trí 5 & 6:$\frac{3+4}{2} = 3,5$
• Mốt: nhiều nhất là 3 và 4 (mỗi số xuất hiện 3 lần) => 2 mốt: 3 & 4
• Phương sai mẫu:$s^2 = \frac{1}{10}\left[(2-3,5)^2 \times 2 + (3-3,5)^2 \times 3 + (4-3,5)^2 \times 3 + (5-3,5)^2 \times 2\right]$
Tính cụ thể:
$(2-3,5)^2 = 2,25$xuất hiện 2 lần =>$2,25 \times 2 = 4,5$
$(3-3,5)^2 = 0,25$xuất hiện 3 lần =>$0,75$
$(4-3,5)^2 = 0,25$xuất hiện 3 lần =>$0,75$
$(5-3,5)^2 = 2,25$xuất hiện 2 lần =>$4,5$
Tổng:$4,5+0,75+0,75+4,5 = 10,5$
=>$s^2 = \frac{10,5}{10} = 1,05$

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải

• • Nhầm công thức phép đếm (chọn nhầm chỉnh hợp/thay hoán vị, tổ hợp).
• • Không xác định đúng không gian mẫu khi tính xác suất.
• • Quên trừ đi các trường hợp không thỏa mãn yêu cầu (bổ sung/trường hợp đối).
• • Vội vàng nhẩm xác suất có điều kiện mà không dùng đúng công thức.
• • Không lập bảng giá trị khi tính kỳ vọng/phương sai biến ngẫu nhiên.
• • Sai sót khi nhập số liệu thống kê vào bảng tính, không kiểm tra lại.

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian (Chuẩn bị nước rút)

• • 2 tuần trước thi: Ôn toàn bộ lý thuyết, hiểu từng công thức, luyện mỗi dạng 5-10 bài, tổng kết lỗi sai.
• • 1 tuần trước thi: Luyện đề tổng hợp, tập trung vào các dạng hay sai, làm đề trong thời gian giới hạn.
• • 3 ngày trước thi: Xem lại bảng công thức, giải 1-2 đề tiêu chuẩn, đọc kỹ lỗi sai, giữ bình tĩnh và ngủ đủ giấc.

9. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

• • Đọc kỹ đề, gạch chân các dữ kiện và yêu cầu chính.
• • Chia bài thành từng bước nhỏ, lập bảng, vẽ sơ đồ bài toán nếu cần.
• • Với xác suất, luôn liệt kê không gian mẫu và các trường hợp thỏa mãn.
• • Với thống kê, sắp xếp số liệu trước khi tính toán, soát lại mọi phép tính.
• • Khi không biết cách đếm, thử liệt kê bằng các trường hợp nhỏ rồi tổng quát.
• • Cẩn thận khi dùng máy tính, nhập đúng biểu thức – đặc biệt với phân số!
• • Gặp câu quá khó, đánh dấu và chuyển sang làm câu khác, quay lại sau.

Kết luận: Ôn thi THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT lớp 12 hiệu quả giúp bạn vững vàng vào phòng thi!

Chủ động luyện tập, tổng kết công thức, tránh lỗi cơ bản và bình tĩnh khi làm bài thi – đó là chìa khóa để bạn đạt điểm tối đa phần xác suất và thống kê trong kỳ thi lớp 12. Chúc các bạn ôn thi THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT lớp 12 thật thành công!