Khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số: Giải thích chi tiết và bài tập mẫu cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số

Khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số là một nội dung trọng tâm trong chương trình toán học lớp 12, thường gặp ở chương I đại số liên quan đến ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đây là dạng toán không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm, giải phương trình mà còn yêu cầu vận dụng linh hoạt tính lý thuyết vào thực hành qua sự xuất hiện của tham số (thường ký hiệu là $m$,$a$, hoặc$k$). Dạng toán này thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và kiểm tra định kỳ, vì vậy việc thành thạo kỹ năng khảo sát hàm bậc ba chứa tham số có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong việc đạt kết quả tốt môn Toán.

2. Định nghĩa hàm bậc ba có chứa tham số

Một hàm bậc ba có chứa tham số có dạng tổng quát:

\displaystyle$f(x)$= ax^3 + bx^2 + cx + d \quad (a$\neq$0)

Trong đó, một hoặc nhiều hệ số $a$,$b$,$c$,$d$là hàm số phụ thuộc (chứa) tham số $m$.

3. Các bước khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số với ví dụ minh họa

Sau đây là các bước khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số, kèm ví dụ minh họa cụ thể:

Ví dụ: Xét hàm số $y = x^3 - 3mx + 2$với$m$là tham số thực.

Bước 1: Tìm tập xác định

Vì đây là hàm đa thức nên tập xác định là $ext{D} = \mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm$y'$và tìm các điểm cực trị

Ta có $y' = 3x^2 - 3m$. Giải phương trình $y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3m = 0 \Leftrightarrow x^2 = m \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{m}$

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị khi$m>0$, 1 điểm cực trị bậc cao khi$m=0$, không có cực trị khi$m<0$.

Bước 3: Xét sự biến thiên và bảng biến thiên

Với $m>0$, xét dấu $y'$. Lập bảng biến thiên theo thứ tự: $x \to \pm \infty$, $x = -\sqrt{m}$, $x = +\sqrt{m}$.

Tính giá trị $y$tại$x = -\sqrt{m}$và $x=\sqrt{m}$:

$y(-\sqrt{m}) = (-\sqrt{m})^3 - 3m(-\sqrt{m}) + 2 = -m\sqrt{m} + 3m\sqrt{m} + 2 = 2m\sqrt{m} + 2$

$y(\sqrt{m}) = (\sqrt{m})^3 - 3m(\sqrt{m}) + 2 = m\sqrt{m} - 3m\sqrt{m} + 2 = -2m\sqrt{m} + 2$

Bước 4: Xét giới hạn và hành vi tại vô cực

Với mọi$m$, khi$x \to +\infty$,$y \to +\infty$; khi$x \to -\infty$,$y \to -\infty$. Điều này cho thấy đầu hàm "vút lên" và "vút xuống" ở hai phía như đồ thị bậc ba tổng quát.

Bước 5: Xác định và giải quyết các trường hợp đặc biệt

- Với$m = 0$,$y = x^3 + 2$là hàm đồng biến và không có cực trị.
- Với$m<0$, phương trình$y'=0$vô nghiệm thực (không có cực trị). Đồ thị đồng biến trên cả $ext{R}$.

4. Một số lưu ý và các trường hợp đặc biệt khi khảo sát

• Luôn xác định kỹ hệ số $a \neq 0$ để đảm bảo hàm bậc ba.
• Cực trị chỉ xuất hiện khi phương trình$y'=0$có nghiệm thực (nghĩa là với tham số phù hợp, thường$m > 0$hoặc điều kiện tương tự tùy biểu thức).
• Với những hàm có chứa nhiều tham số, cần phân tích kỹ từng miền giá trị tham số.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Kiến thức về đạo hàm, cực trị, điểm uốn, tính đồng biến nghịch biến, bảng biến thiên, đồ thị hàm số đều liên quan chặt chẽ đến khảo sát hàm bậc ba có chứa tham số.
- Ngoài ra, bài toán này còn liên hệ với giải bất phương trình bậc hai, kỹ năng giải phương trình chứa căn,…

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị của$m$để hàm số$y = x^3 - 3mx + 2$có hai cực trị thỏa mãn$y_1 < 0 < y_2$(với$y_1$,$y_2$là giá trị tại các điểm cực trị).

Giải:
Hàm số có 2 cực trị khi $m > 0$. Giá trị tại hai điểm cực trị là $y_1=2m\sqrt{m}+2$, $y_2= -2m\sqrt{m}+2$. Để $y_1 < 0 < y_2$:
$2m\sqrt{m}+2 < 0 \Leftrightarrow 2m\sqrt{m} < -2 \Leftrightarrow m\sqrt{m} < -1$
But$m>0 \Rightarrow m\sqrt{m}>0$nên điều này không xảy ra.
Nhận thấy dấu của$y_1$và $y_2$luôn trái nhau vì $ext{hệ số trừ}$. Tuy nhiên, chỉ có thể xảy ra dạng $y_2<0<y_1$. Vậy không tồn tại $m>0$để$y_1 < 0 < y_2$.

Bài tập 2: Tìm tất cả giá trị $m$ để điểm uốn của$y = x^3 - 3mx + 2$nằm bên trái trục tung.

Điểm uốn của hàm bậc ba tổng quát là nghiệm của$y''=0$. Ta có $y''=6x$. Giải$6x=0 \Leftrightarrow x=0$. Điểm uốn luôn là $x=0$(trục tung). Vậy KHÔNG tồn tại$m$ để điểm uốn nằm bên trái trục tung (vì điểm uốn nằm trên trục tung với mọi$m$).

Bài tập 3: Khảo sát, vẽ bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + m$với$m$là tham số.

Ta làm hoàn toàn giống ví dụ đầu, điểm khác là vai trò của$m$trong$y$là một hằng số.$y' = 3x^2 - 3$, giải$3x^2-3=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Rightarrow x= \pm 1$. Tìm giá trị $y$:
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + m = -1 + 3 + m = m + 2y(1) = 1^3 - 3(1) + m = 1 - 3 + m = m - 2$Bảng biến thiên như sau:
Với$x < -1$,$y'$dương,$y$ đồng biến;$-1< x <1$,$y'$ âm,$y$nghịch biến;$x>1$,$y'$dương,$y$ đồng biến tiếp.

Đồ thị luôn có hình dạng tăng - giảm - tăng, với vị trí dịch lên/xuống theo$m$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên xét điều kiện hệ số $a \neq 0$khiến hàm không còn là bậc ba.
• Không phân tích đủ các trường hợp giá trị tham số (các miền$m<0$,$m=0$,$m>0$).
• Nhầm lẫn vị trí điểm cực trị và giá trị tại điểm cực trị.
• Sai khi tính đạo hàm hoặc giải phương trình đạo hàm.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hàm bậc ba có chứa tham số là dạng hàm số đặc biệt quan trọng thường xuyên xuất hiện ở lớp 12.
- Các bước khảo sát gồm: xác định tập xác định; tìm đạo hàm và điểm cực trị; xét dấu đạo hàm; xác định giới hạn; phân tích các trường hợp tham số; lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
- Chú ý các trường hợp đặc biệt khi tham số làm mất cực trị hoặc làm thay đổi hình dạng đồ thị.
- Hiểu rõ mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm, các cực trị, điểm uốn,...
- Thường xuyên luyện tập để thành thạo.